“希望杯”数学邀请赛培训题3答案与提示
51．形的面积等于矩形面积减去三个小三角形面积，而三个小三角形面积恰好是短形面积的，所以
52．○中填的数是：??? 
□中填的数是：
而? 
53．○中填1，△中填0，□填8。（1＋8）×0＝0．
54．由－3，－2，－1，4，5中任取三个相乘可得10种不同的乘积，它们是
（－3）（－2）（－1）＝－6，（－3）（－2）4＝24，（－3）（－2）5＝20，
（－3）（－1）4＝12，（－3）（－1）·5＝15，（－3）（4）（5）＝－60，
（－2）（－1）·4＝8，（－2）（－1）·5＝10，（－2）·4·5＝－40，（－1）·4·5＝－20．
最大乘积是30，最小的乘积是－60．－（－30）÷－60＝－
55．??? 1－
＝＝
＝
56．按规则，甲同学的标准体重为161－110＝51，正常体重应在与之间，即所以
57．若则
若 0，则 0．所以的最小值是0．
58．
=
=
59．由图可见，
又? ；
由图可知? ??所以：
60．分三种情况讨论：
（1）?????? 当时，
（2）?????? 当时，
(3)当时，
综合（1），（2），（3），可得，最小值是
61．设线段的长度为，则
所以? ??即? 
即 长度为
62．由于36是的倍数，所以只能是0或3，同理，36也是的倍数，所以只能是0或1．于是是3或18，是1或4．在四对数3，1；3，4；18，1和18，4中，只有18和4的最小公倍数是36，因而所以
63．设乙跑了X米，则在秒时乙发出叫声，声音传到甲处用了秒，两段时间之和等于5，所以? 米
64．因为
所以
65．设大正方形长为，小正方形边长为，则S△ABC
平方厘米．
66．设则其中为8或9，因为250052，10，
被11除的余数分别为0，－1，1，可设250052＝
为正整数，故可得所以所求四位数是1885或1995．
67．设1分、2分、5分硬币分别为枚，则
得?? ????????????
当时，，；当，3，4时均不合题意；当5时，，
? ；当6，7，8均不合题意．
所以，原方程的解为
? 或??? ，或．
68．设这个数学小组的成员共有人，男孩子为人，则均为自然数，且．
即： 且．? 于是： 且? 则：
所以?? ??所以最小值是7．? 这时? ?
所以?? ??因此，这个数学小组成员至少有7个人。
69．四位数每个数位都可以选1或2，共两种方法，所以排成四位数共有种方法。但由于只有三个1和三个3，因此不可能出现1111和2222这两个数，所以用三个数码2可以组成个不同的四位数，它们是：1222，2122，2212，2221，1122，1212，1221，2112，2121，2211，1112，1211，2111，1121．
70．按百位数字分类讨论：
①???? 百位数字是8，9时不存在，个数0；??? 
②???? 百位数字是7，只有789，1个；
③???? 百位数字是6，只有679，678，689，共3个；? 
④???? 百位数字是5，有567，568，569，578，579，589，共6个；
⑤???? 百位数字是4，有456，457，458，459，467，468，469，478，479，489共10个；
⑥???? 百位数字是3时，共15个；
⑦???? 百位数字是2时，共21个；
⑧???? 百位数字是是1时，共28个。
总计，共1＋3＋6＋10＋15＋21＋28＝80个。
71．后两位数字相同，只有00，11，22，33，44，55，66，77，88，99这10种可能情形，而每一种相同的末两位数字相同的数，百位到千位对应着1，2，…，19这19种可能，所以在100－1999这一千九百个自然数中，十位与个位数字相同的共有19×10＝190个。
72．设毕达哥拉斯学校有学生人，则正在学数学的为人，正在学音乐的为人，正休息的为人．依题意列出如列方程：
????? 解得：? 人。
73．设丢番图寿命为岁，则他的童年时期为岁，他的少年时期为岁，又过了生命的七分之一，即岁，儿子年岁为，丢番图寿命等于各阶段年数之和，得
??? 解得： ．丢番图一生活了84岁。
74．设他们有兄弟人，姐妹人，则依题意可列出如下的二元一次方程组
，? 解得? 即他们有兄弟4人，姐妹3人。
75．设甲现年岁，乙现年岁，甲比乙大岁。由甲说的前半句话：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年岁数的一半”可得? ①
由甲说的后半句话：“当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7”可得??? ②
将①，②联立，解得??? ??所以甲现年28岁，乙现年21岁。

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