中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里不填、多填或错填都得0分）
，则的值为        （B）       （C）       （D）
解：    由题设得．a，b满足，则a的取值范围是 （     ）．    （B）a≥4    （C）a≤或 a≥4   （D）≤a≤4
解．C
因为b是实数，所以关于b的一元二次方程
的判别式   ≥0,解得a≤或 a≥4．
3．四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD的长为（   ）．（A）    		（B）
（C）     	（D）D
如图，过点A，D分别作AEDF垂直于直线BC，垂足分别为EF．
由已知可得
BE=AE=，CF＝，DF＝2，
EF＝4＋．根据勾股定理得
AD＝．
．在……中，，当k2时，
表示实数的整数，例如，，则等于（    ）．
A) 1          (B) 2           (C) 3            (D) 4
解：B
由和可得
，，，，，，，，2010=4×502+2，=2．
5．如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形ABCD的顶点分别为A1，1，B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，，重复操作依次得到点P1，P2，， 点P2010的坐标（  ）．                   
（A）（2010，2） （B）（2010，）（C）（2012，）  （D）（0，2）B由已知可以得到，点，的坐标为（2，）．
，其中．根据对称关系可求得，，，．
令，可求得的坐标为（），即（）由于2010=4502+2，点的坐标为（2010，）．二、填空题
6．a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12 等于       ．
0
  由已知得 (a＋1)2＝5，a2＋2a＝4，2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向行驶．在某一时刻客车在前小轿车在后货车在客车小轿车的正中．10分钟小轿车追上了货车又过了5分钟小轿车追上了客车再过分钟，货车追上了客车．15
设货车与客车、小轿车的距离均为S，小轿车货车客车的速度分别为，并设货车经x分钟追上客车，由题意得
①
，  ②       ． ③
由①②，得所以x=30．       故 （分）． 8．如图，在平面直角坐标系中多边形．若直线将多边形分割成面积相等的两部分，则的函数表达式是．
解：
如图，延长BC交x轴于点F；连CE，DF，且相交于点N．把矩形ABFO分成面积相等的两部分．点中．，即为所求直线．设的函数表达式为，
解得 ,故所求直线．9．射线AM，BN都垂直于线段AB，E为AM上一点，．CD＝CF，则         ．  
见题图，设．Rt△AFB∽Rt△ABC，所以 ．FC＝DC＝AB即     ，，或（舍去）．Rt△∽Rt△，所以，  即=．10．对于，正整数除以的余数为．若的最小值满足，则的最小值为           ．      因为为的倍数，所以的最小值满足，其中的最小公倍数．
，
因此满足的的最小值为． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
．
证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径，所以
ED⊥BC，   FD⊥BC，
因此D，E，F三点共线.   …………（5分）
连接AE，AF，则
，
所以，△ABC∽△AEF.    …………（10分）
作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得
，
从而                         ，         
所以                         .     …………（20分）
12．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.
（1）求实数a，b，k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.
解：（1）上，
所以k=4. 故双曲线的函数表达式为.
设点B（t，），，AB所在直线的函数表达式为，则有
    解得，.
于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故
，整理得，解得，＝（舍去）．B的坐标为（，）．
（a0）上，所以 解得   …………（10分）
（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4. 又BO=2，所以.
设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D， 则点D的坐标为（，0）.
因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.
（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.
延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点.
（ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E２（2，）是符合条件的点．
所以，点的坐标是（8，），或（2，）.         …………（20分）
  13．求满足的所有素数p和正整数m.
．解：由题设得，
所以，由于p是素数，故，或.  ……（5分）
    （1）若，令，k是正整数，于是，
，
故，从而. 
所以解得            …………（10分）
（2）若，令，k是正整数. 
当时，有，
，
故，从而，或2. 
    由于是奇数，所以，从而.
    于是
这不可能. 
当时，，；当，，无正整数解；当时，，无正整数解. 
综上所述，所求素数p=5，正整数m=9.                 …………（20分）
14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？
解：首先，如下61个数：11，，，…，（即1991）满足题设条件.                               …………（5分）
    另一方面，设是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数，因为
，   ，
所以                        .
因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数.        …………（10分）
设，i=1，2，3，，n，得，
所以，，即≥11.                 …………（15分）
≤，
故≤60. 所以，n≤61.
综上所述，n的最大值为61.                        …………（20分）
1
（第3题）
（第8题）
（第12题）
（第5题）
（第3题）
（第8题
（第9题）
（第12A题）
（第12B题）
（第11题）
（第12B题）
（第11题）
（第12题）

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