2010年普通高中自主招生考试
科学素养（数学）测试题
命题人：赵永琴 方志   审题人：程鸣
◆注意事项：
  1. 本卷满分150分，考试时间120分钟；
  2. 所有题目必须在答题卷上作答，否则不予计分。
一、选择题（每小题5分，共30分。每小题均给出了A、B、C、D的四个选项，其中有且只有[来源:学科网]，2的对面的数字为，那么的值为  
A．3	　　　　     　B．7	　　　     　　C．8	　　 　 　 　D．11
2、右图是某条公共汽车线路收支差额与乘客量的图像（收支差额=车票收入-支出费用）
由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车
票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格。下面
给出四个图像（如图所示）则
[来源:Z+xx+k.Com]A．B．C．D．，并且是方程的两个根，则
实数的大小关系可能是
 A．  　 B．　  C．   　D．
4、记=，令，称为，这列数的“理想数”已知，……，的“理想数”为2004，那么，，……，的“理想数”为A．20             B．200            C．200            D．205、以半圆的一条弦（非直径）为对称轴将弧折叠后
与直径交于点，若，且，则的
长为        
A．             B．      C．         D．表示不超过的最大整数（如等），则
_________________。
8、在中，分别是上的点，，交于点，若，则四边形的面积为________。
9、有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各三面，在每种颜色的旗帜上分别标有号码1、2、3，现任意抽取3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是___________。              
10、已知抛物线经过点A(4,0)。设点C（1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D,使得的值最大，则D点的坐标为＿＿＿＿＿＿＿。  
11、三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线。现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为__________。
12、已知点（1，3）在函数的图像上。正方形的边在轴上，点是对角线的中点，函数的图像又经过、两点，则点的横坐标为__________。
13、按下列程序进行运算（如图）
规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算。若，则运算进行_______次才停止；若运算进行了次才停止,则的取值范围是________________。
14、给你两张白纸一把剪刀。你的任务是：用剪刀剪出下面给定的两个图案，你可以将纸片任意折叠，但只能沿直线剪一刀,要得到下面两个图案，在不实际折叠的情况下，想象一下，该如何折叠？用虚线画出折痕，用实线画出剪的这一刀(分别在旁边的白纸上画出来)
[来源:学科网]t△ABC中，斜边AB＝5厘米，BC＝厘米，AC＝b厘米，＞b，且、b是方程的两根。
⑴ 求和b的值；
⑵ 与开始时完全重合，然后让固定不动，将以1厘米/秒的速度沿所在的直线向左移动。
① 设x秒后与的重叠部分的面积为y平方厘米，
求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围；
② 几秒后重叠部分的面积等于平方厘米？
16、已知⊙过点（3，4）,点与点关于轴对称，过作⊙的切线交轴于点。
⑴ 求的值；
⑵ 如图，设⊙与轴正半轴交点为，点、是线段上的动点（与点不重合），连接并延长、交⊙于点、，直线交轴于点，若是以为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化，请说明理由。
[来源:学§科§网]镇，二分队因疲劳可在营地休息小时再往镇参加救灾。一分队出发后得知，唯一通往镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路。已知一分队的行进速度为千米/时，二分队的行进速度为千米/时。
⑴ 若二分队在营地不休息，问要使二分队在最短时间内赶到A镇，一分队的行进速度至少为多少千米/时？
⑵ 若=4千米/时，二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？
18、如图1、2是两个相似比为：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。
⑴ 在图3中，绕点旋转小直角三角形，使两直角边分别与交于点，如图4。
求证：；
⑵ 若在图3中，绕点旋转小直角三角形，使它的斜边和延长线分别与交于点，如图5，此时结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
[来源:学科网ZXXK]
⑶ 如图，在正方形中，分别是边上的点，满足的周长等于正方形的周长的一半，分别与对角线交于，试问线段、、能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由。
[来源:Z§xx§k.Com]的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出8个不同
的向量:、、、、 、、、（由于和是相等向量，因此只算一个）。[来源:Zxxk.Com]，试求的值；
⑵ 作个相邻的正方形(如图二)“一字型”排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为，试求的值；
…
共n个正方形
⑶ 作个相邻的正方形(如图三)排开。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为，试求的值；
图三
⑷ 作个相邻的正方形(如图四)排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量, 可以作出不同向量的个数记为，试求的值。
2010年普通高中自主招生考试
科学素养（数学）测试题参考答案和评分标准
一、 选择题 (每小题5分，共30分)
1、B  2、B  3、D  4、C  5、A  6、B
二、填空题（每小题6分，共48分）
7、2000  8、  9、  10、 (2,-6)    11、 201    12、   13、  4  ,  
14、
     （本题的答案不唯一，其它画法相应给分）
三、解答题（本大题共5小题，）
15、⑴=4，b=3 
⑵① y=      (0x4) 
②经过3秒后重叠部分的面积等于平方厘米。
16、⑴ 
（2）试探索的大小怎样变化，请说明理由.
解：当、两点在上运动时（与点不重合），的值不变
过点作于，并延长交于，连接，
交于。
因为为等腰三角形， ，
所以平分
所以弧BN=弧CN，所以， 
所以 
所以=
即当、两点在上运动时（与点不重合），的值不变。
17、⑴一分队的行进速度至少为千米/时。
⑵要使二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地不休息。
18、⑴ 在图4中，由于，将绕点旋转，得， 
     、。连接 
在中有 
又垂直平分  
代换得 
 在图5中，由，将绕点旋转，得
    连接 
在中有 
又可证≌，得V
代换得 
(3)将绕点瞬时针旋转，得，且 
因为的周长等于正方形周长的一半，所以
[来源:学,科,网Z,X,X,K]从而可得≌，
  推出 
此时该问题就转化为图5中的问题了。由前面的结论知：
，再由勾股定理的逆定理知：
线段、、可构成直角三角形。 
19、⑴  
⑵  
  ⑶ =34 [来源:Z,xx,k.Com]=2（）+4（）
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A
B
B
C
A
C
A
B
E
F
D
共n个正方形相连
A
D
B
E
M
F
X
否
停止
O
B
图2
B
图四
共
m
个正方形相连
图5
A
C
D
D
图1
图一
E
图二
图4
图3
图2
图1
F
C
B
D
O
D
x
A
H
y
x
E
D
G
y
F
P
C
O
大于244
减去2
乘以3
是
输入
N
④
③
]]\\
②
①
O
y
x
1
1
A
A
O
y
x
1
1
O
y
x
1
1
A
O
y
x
1
1
O
y
x
1
1
A
2010年安徽省蚌埠二中高中自主招生考试数学试题及评分标准.doc