2011 年全国初中数学联赛江西赛区初赛试题 
                     （2011 年3 月20  日9 ：30 分—11：30 分） 
                                  第一试 
一、 选择题（每小题7 分，共42 分） 
1、设 为质数，并且 2              和 2      也都是质数，若记                  ，           ，则 
      a            7a  ?8   8a ?7                 x   77a ??8  y  88a ??7 
   在以下情况中，必定成立的是 （                   ）。 
    （ ）  都是质数；                          （ ）  都是合数； 
      A   x , y                          B   x , y 
    （ ）  一个是质数，一个是合数；  （ ）对不同的 ，以上各情况皆可能出现。 
      C   x , y                          D           a 
          3 ?2  2      3 ?2  2 
2、化简               ?            的结果是 （         ）。 
         17?12   2    17?12   2 
    （ ）  ；             （ ）       ；      （ ） ；            （ ）  。 
      A    2            B   ? 2           C   2           D    ?2 
3、22011 ?32011 的末位数字是 （          ）。 
    （ ） ；             （ ） ；              （ ） ；           （ ） 。 
      A   1             B   3             C   5            D   7 
4 、方程 x ?3?4      x ?1 ? x ?8 ?6  x ?1  1 的解的情况是 （           ）。 
    （ ）无解；            （ ）恰有一解；           （ ）恰有两个解；（ ）有无穷多个解。 
      A                B                  C                D 
5、正六边形被三组平行线划分成小的正三角形，则图中全体正三角形 
    的个数是 （         ）。 
    （ ） ；             （ ） ； 
      A   24           B    36 
    （ ） ；             （ ）  。 
      C   38           D    76 
                                    2                 2 
      a                            x ? 2a ?b ?3  x ? a ?ab ?6    0       ? 
6、设 ， 为整数，并且一元二次方程                                                 有等根 ， 
         b                             ?        ?   ?         ? 
                 2ax2  ? 4a ?2b ?2 x ? 2a ?2b ?1   0                 ? 
   而一元二次方程                                           有等根 ；那么，以 ， 为 
                       ?          ?   ?         ?          ?             ? 
   根的整系数一元二次方程是 （                  ）。 
    （ ）2x2  ?7x ?6     0 ；               （ ）2x2  ?x ?6    0 ； 
      A                                   B 
      C   x2  ?4x ?4 0                        x2  ? a ?b x ?ab  0 
    （ ）                ；                 （ ）                      。 
                                          D       ?    ? 
二、 填空题（每小题7 分，共28 分） 
               ABC                3      5 
1、直角三角形△            的三条长分别为 ， ， ，若将其内切圆挖去，则剩下部分的面积 
                                     4 
   等于              。 
       3    2               3         2 
2、若x    ?5x  ?7x ?3    x ??4 ?a  x ?4  ?b  x ?4  ?c ，则?a,b,c?              。 
                      ?    ?    ?    ?    ?    ? 
3、如图，正方形              的边长为 ， 是  边外的一点， A                               D 
               ABCD           1  E   CD 
   满足：  ∥  ，                 ，则                   。 
         CE    BD   BE   BD      CE 
                                                                             E 
                                                                     F 
                                                      B               C 
4 、绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自?1,2,3,4,5,6,7,8,9?之中（每一个数都可 
    以多次出现在圆周上），若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是 的倍数，用 表 
                                                             7          S 
   示圆周上所有十二个数的和，那么数 所有可能的取值情况有                                     种。 
                                  S 
                                  第二试 
一、（20 分）试确定，对于怎样的正整数 ，方程5x2  ?4  a ?3  x ?a2  ?29              0 有正整数解？ 
                                a             ?    ? 
并求出方程的所有正整数解。 
二、（25 分）锐角三角形△               的外心为 ，外接圆半径为 ，延长  ，  ，  ， 
                        ABC          O               R       AO    BO   CO 
分别与对边  ，  ，  交于 ， ， ； 
          BC    CA   AB      D   E    F 
        1    1    1    2 
证明：       ?    ?         。 
      AD    BE   CF    R 
                     A 
                        E 
            F 
                 O 
    B         D             C 
三、（25 分）设为正整数，证明： 
1、如果 是两个连续正整数的乘积，那么25k ?6 也是两个连续正整数的乘积； 
       k 
2、如果25k ?6 是两个连续正整数的乘积，那么 也是两个连续正整数的乘积。 
                                 
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