第38章   尺规作图
一、选择题
1. （2011浙江绍兴，8，4分）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接.若的周长为10，，则的周长为（   ）
 A.7               B.14                      C.17                D.20
【答案】C
二、填空题
三、解答题
1. （2011江苏扬州，26,10分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠BAC的角平分线AD交BC边于D。
（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=,	求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积。（结果保留根号和）
【答案】（1）如图，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆。
判断结果：BC是⊙O的切线。连结OD。
  ∵AD平分∠BAC      ∴∠DAC=∠DAB
∵OA=OD              ∴∠ODA=∠DAB
∴∠DAC=∠ODA       ∴OD∥AC     ∴∠ODB=∠C
∵∠C=90o            ∴∠ODB=90o  即：OD⊥BC
∵OD是⊙O的半径      ∴ BC是⊙O的切线。
(2) 如图，连结DE。
   设⊙O的半径为r，则OB=6-r，
在Rt△ODB中，∠ODB=90o，
∴ 0B2=OD2+BD2        即：(6-r)2= r2+()2      
∴r=2    ∴OB=4    ∴∠OBD=30o，∠DOB=60o
∵△ODB的面积为，扇形ODE的面积为
∴阴影部分的面积为—。
2. （2011山东滨州，23，9分）根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论。
（1）如图①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°
①作图：
②猜想：
③验证：
（2）如图②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°.
①作图：
②猜想：
③验证：
【答案】
(1)①作图：痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作∠ACD=∠A(或∠BCD=∠B)两类方法均可，
在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求………………2分
②猜想：∠A+∠B=90°，………………4分
③验证：如在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°时，有∠A+∠B=90°，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。………………5分
（2）答：①作图：痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作∠ACD=∠A或在线段CA上截取CD=CB三种方法均可。
在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求………………6分
②猜想：∠B=3∠A………………8分
③验证：如在△ABC中，∠A=32°，∠B=96，有∠B=3∠A，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。………………9分
3. （2011山东威海，20，8分）我们学习过：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫旋转中心．
（1）如图①，△ABC≌△DEF，△DEF能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．图①
（2）如图②，△ABC≌△MNK，△MNK能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．
 （保留必要的作图痕迹）
图①                    图②
【答案】  解：（1）能，点就是所求作的旋转中心． 
图①                       图②
（1）能，点就是所求作的旋转中心．
4. （2011浙江杭州，18，6）四条线段a，b，c，d如图，a：b：c：d＝1：2：3：4．
(1)选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法)；
 (2)任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率．
【答案】(1)只能取b,c,d三条线段，作图略
(2) 四条线段中任取三条共有四种等可性结果：（a，b，c），（a，b，d），（a，c，d），（b，c，d），其中能组成三角形的只有（b，c，d），所以以它们为边能作出三角形的概率是．
5. （2011四川重庆，20，6分）为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M、位置．(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)
【答案】
6. （2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C。
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD。
（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：
①写出点的坐标：C          、D           ；
②⊙D的半径=            （结果保留根号）；
③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为         （结果保留π）；
④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由。
【答案】（1）
（2）
① C（6，2），D（2，0）
②
③
④相切。
理由：∵CD=，CE=，DE=5
∴CD2+CE2=25=DE2
∴∠DCE=90°即CE⊥CD
∴CE与⊙D相切。
7. （ 2011重庆江津， 23，10分）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁,以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,且点A的坐标是(2,2),点B的坐标是(7,3).
(1)一辆汽车由西向行驶,在行驶过程中是否存在一点C,使C点到A、B两校的距离相等,如果有?请用尺规作图找出该点,保留作图痕迹,不求该点坐标.
(2)若在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之各最小,通过作图在图中找出建游乐场的位置,并求出它的坐标.
【答案】(1)存在满足条件的点C: 作出图形，如图所示，作图略；
  （2）作出点A关于x轴的对称点A/(2,-2), 连接A/B，与x轴的交点即为所求的点P.
   设A/B所在的直线的解析式为： y=kx+b, 把A/(2,-2), B(7,3)分别代入得：
      解得：·
   所以： y=x-4·
   当y=0时，x=4,所以交点P为（4，0）·
8. (2011重庆綦江，19，6分)为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置.
要求: 写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．
解：已知：
        求作：
【答案】：解：已知：A、B、C三点不在同一直线上.
求作：一点P，使PA＝PB＝PC. 
(或经过A、B、C三点的外接圆圆心P)
正确作出任意两条线段的垂直平分线，并标出交点P
9. (2011江苏南京，27，9分)如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．
⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
【答案】解：⑴在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴，∴CD=BD．
∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．
∴E是△ABC的自相似点． 
⑵①作图略． 
作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；
（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．
则P为△ABC的自相似点．
②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴，．
∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．
∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A，
∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．
∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．
∴．∴该三角形三个内角的度数分别为、、．
10．（2011江苏无锡，26，6分）(本题满分6分)如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°。正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合。现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动。
    (1)
2011年中考数学试题分类38 尺规作图.doc