中考一轮复习之函数的综合运用
知识考点：
会综合运用函数、方程、几何等知识解决与函数有关的综合题以及函数应用问题。
精典例题：
【例1】如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A、B两点，与轴交于C点，与轴交于D点，OB＝，tan∠DOB＝。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点A的横坐标为，△ABO的面积为，求与之间的函数关系式；并写出自变量的取值范围。
（3）当△OCD的面积等于时，试判断过A、B两点的抛物线在轴上截得的线段长能否等于3？如果能，求出此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。
解析：（1）
（2）A（，），直线AB：，D（，0）
易得：，（）
（3）由有，解得，（舍去）
∴A（1，3），过A、B两点的抛物线的解析式为，设抛物线与轴两交点的横坐标为、，则，
若有
整理得，由于△＝－12＜0方程无实根
故过A、B两点的抛物线在轴上截得的线段长不能等于3。
评注：解此题要善于利用反比例函数、一次函数、二次函数以及三角形面积等知识，并注意挖掘问题中的隐含条件。
【例2】某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
（2）设销售单价为每千克元，月销售利润为元，求与之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
（4）商店要想月销售利润最大，销售单价应定为多少元？最大月销售利润是多少？
解析：（1）（元）
     （2）
     （3）当时，，（舍去）
     （4），销售单价定为70元时，月销售利润最大为9000元。
评注：本题是一道实际生活中经济效益的决策性应用问题，解答时要认真审题，从实际问题中建立二次函数的解析式，然后应用其性质求解。
探索与创新：
【问题】如图，A（－8，0），B（2，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与轴的负半轴交于点C。
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求顶点M的坐标和直线MC的解析式；
（3）判定（2）中的直线MC与⊙P的位置关系，并说明理由；
（4）过原点O作直线BC的平行线OG，与（2）中的直线MC交于点G，连结AG，求出G点的坐标，并证明AG⊥MC。
解析：（1），；
     （2）M（－3，），直线MC：
     （3）直线MC交轴于N（，0），易证，直线MC与⊙P相切；
     （4）直线BC：，直线OG：，由解得：
G（，），∵BC∥OG，∴，易证△NBC∽△NGA，有
∴，又∠CNO＝∠ANG，∴△NOC∽△NGA，∴∠AGN＝∠CON＝900，故AG⊥MC。
    评注：这是一道代数、几何横向联系的综合开放题，解这类问题的关键是运用数形结合的思想方法，从数量关系与图形特征两个方面入手来解决。
跟踪训练：
一、选择题：
1、若抛物线的顶点在第二象限，则常数的取值范围是（  ）
A、或                      B、
C、                          D、
2、抛物线（＞0）与轴交于P，与轴交于A（，0），B（，0）两点，且，若，则的值是（    ）
    A、              B、            C、              D、
3、某商人将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销价提高（    ）
    A、8元或10元        B、12元              C、8元            D、10元
二、填空题：
1、函数的图像与轴有且只有一个交点，那么的值是        ，与轴的交点坐标为                。
2、已知M、N两点关于轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线上，  设点M（，），则抛物线的顶点坐标为            。
3、将抛物线绕顶点旋转1800，再沿对称轴平移，得到一条与直线交于点（2，）的新抛物线，新抛物线的解析式为              。
4、已知抛物线与轴交于A、B两点，顶点为C，连结AC、BC，点A1、A2、A3、…把AC等分，过各分点作轴的平行线，分别交BC于B1、B2、B3、…，线段A1B1、A2B2、A3B3、…、的和为            。（用含的式子表示）
三、解答题：
1、汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速40千米／小时以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发情况不对，同时刹车，但还是相碰了。事后现场测得甲车的刹车距离为12米，乙车的刹车距离超过10米，但小于12米。查有关资料知：甲种车的刹车距离（米）与车速（千米／小时）之间有下列关系，；乙种车的刹车距离（米）与车速（千米／小时）的关系如图所示。请你就两车的速度方面分析相碰的原因。
2、如图，已知直线与轴交于点P（－1，0），与轴所夹的锐角为，县tan＝，直线与抛物线交于点A（，2）和点B（－3，）
（1）求A、B两点的坐标，并用含的代数式表示和；
（2）设关于的方程的两实数根为、，且，，求此时抛物线的解析式；
（3）若点Q是由（2）所得的抛物线上一点，且在轴上方，当满足∠AOQ＝900时，求点Q的坐标及△AOQ外接圆的面积。
3、如图，抛物线经过A、B、C三点，顶点为D，且与轴的另一个交点为E。
（1）求抛物线的解析式；
（2）求四边形ABDE的面积；
（3）△AOB与△BDA是否相似，如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由。
（4）设抛物线的对称轴与轴交于点F，另一条抛物线经过点E（抛物线与抛物线不重合），且顶点为M（，），对称轴与轴交于点G，且以M、G、E为顶点的三角形与以D、E、F为顶点的三角形全等，求、的值（只须写出结果，不必写出解答过程）。
4、如图，直线与轴、轴交于点A、B，⊙M经过原点O及A、B两点。
（1）求以OA、OB两线段长为根的一元二次方程；
（2）C是⊙M上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD＝∠CBO，写出经过O、C、A三点的二次函数解析式；
（3）若延长BC到E，使DE＝2，连结AE，试判断直线EA与⊙M的位置关系，并说明理由。
5、如图，P为轴正半轴上一点，半圆P交轴于A、B两点，交轴于C点，弦AE分别交OC、CB于点D、F，已知。
（1）求证：AD＝CD；
（2）若DF＝，tan∠ECB＝，求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）设M为轴负半轴上一点，OM＝AE，是否存在过点M的直线，使该直线与（2）中所得的抛物线的两个交点到轴距离相等？若存在，求出这条直线的解析式；若不存在，请说明理由。
参考答案
一、选择题：BCD
二、填空题：
1、1或9，（－1，0）或（，0）；2、（3，）；3、；4、
三、解答题：
1、甲车速30千米／小时未超过限速；乙车速为超过限速。
2、（1）A（2，2），直线：，B（－3，）
       ，
  （2）
  （3）A（2，2），∠AOY＝∠YOQ＝450，直线OQ：，Q（－1，1），AQ＝，△AOQ外接圆面积＝（平方单位）
3、（1）；（2）9；（3）（5，4）、（5，－4）、（7，2）、（7，－2）、（1，－4）、（－1，－2）、（－1，2）共7个点。
4、（1）；（2）C（，），
  （3）直线EA与⊙M相切。
5、（1）连结AC；（2）；（3）不存在
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