2011年中考数学压轴题复习讲义
（动点问题详细分层解析，尖子生首选资料 ）
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:动中求静.
数学思想：分类思想 函数思想  方程思想  数形结合思想 转化思想
注重对几何图形运动变化能力的考查
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
,GP,求关于的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量的取值范围).
(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.
解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=NH=OP=2.
(2)在Rt△POH中,  ,  ∴.
在Rt△MPH中,
.
∴=GP=MP= (0  6).
(3)△PGH是等腰三角形有三种可能情况:
①GP=PH时,,解得. 经检验, 是原方程的根,且符合题意.
②GP=GH时, ,解得.  经检验, 是原方程的根,但不符合题意.
③PH=GH时,.
综上所述,如果△PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为或2.
二、应用比例式建立函数解析式
    例2 如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=CE=.
    (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定与之间的函数解析式； 
    (2)如果∠BAC的度数为,∠DAE的度数为,当,满足怎样的关系式时,(1)中与之间的函数解析式还成立?试说明理由.
解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°, 
∴∠ABC=∠ACB=75°,   ∴∠ABD=∠ACE=105°.
∵∠BAC=30°,∠DAE=105°,  ∴∠DAB+∠CAE=75°, 
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,
 ∴∠CAE=∠ADB,   
∴△ADB∽△EAC,   ∴,
 ∴, ∴.
(2)由于∠DAB+∠CAE=,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=,且函数关系式成立,
∴=, 整理得.
当时,函数解析式成立.
例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.
(1)求证: △ADE∽△AEP.
(2)设OA=,AP=,求关于的函数解析式,并写出它的定义域.
 (3)当BF=1时,求线段AP的长.
解:(1)连结OD.
根据题意,得OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.
又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE∽△AEP.
(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3,  ∴AC=5.  ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD∥BC, ∴,,
∴OD=,AD=.  ∴AE==. 
∵△ADE∽△AEP, ∴,   ∴.    ∴ ().
(3)当BF=1时，
 ①若EP交线段CB的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.
∵∠ADE=∠AEP,  ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE,
∴∠F=∠PDE,    ∴∠F=∠FEC,  ∴CF=CE.
 ∴5-=4,得.可求得,即AP=2.
②若EP交线段CB于点F,如图3(2), 则CF=2.
类似①,可得CF=CE.
∴5-=2,得.
可求得,即AP=6.
综上所述, 当BF=1时,线段AP的长为2或6.
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式
例4 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=,⊙A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=,△AOC的面积为.
(1)求关于的函数解析式,并写出函数的定义域.
(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时,
△AOC的面积.
解:(1)过点A作AH⊥BC,垂足为H.
∵∠BAC=90°,AB=AC=, ∴BC=4,AH=BC=2.  ∴OC=4-.
∵,  ∴ ().
(2)①当⊙O与⊙A外切时,
在Rt△AOH中,OA=,OH=,  ∴.  解得.
此时,△AOC的面积=.
②当⊙O与⊙A内切时,
在Rt△AOH中,OA=,OH=,  ∴.  解得.
此时,△AOC的面积=.
综上所述,当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积为或.
专题二：动态几何型压轴题
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、以动态几何为主线的压轴题 
（一）点动问题．
1．（09年徐汇区）如图，中，，，点在边上，且，以点为顶点作，分别交边于点，交射线于点．
（1）当时，求的长；                            
（2）当以点为圆心长为半径的⊙和以点为圆心长为半径的⊙相切时，
求的长；                                            
（3）当以边为直径的⊙与线段相切时，求的长．    
[题型背景和区分度测量点]
本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,当E点在AB边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题．区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解．
[区分度性小题处理手法]
1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程．
2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用d=R±r()建立方程．
3．解题的关键是用含的代数式表示出相关的线段.
 [ 略解]
解：（1） 证明∽∴ ，代入数据得，∴AF=2
（2）　设BE=,则利用（1）的方法，
  相切时分外切和内切两种情况考虑：  外切，，；
内切，，．
∴当⊙和⊙相切时，的长为或．
（3）当以边为直径的⊙与线段相切时，．
类题  ⑴一个动点：09杨浦25题（四月、五月）、09静安25题、
      ⑵两个动点：09闸北25题、09松江25题、09卢湾25题、09青浦25题．
（二）线动问题
在矩形ABCD中，AB＝3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.(1)若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A重合，求BC的长；
(2)若直线l与AB相交于点F，且AO＝AC，设AD的长为，五边形BCDEF的面积为S.①求S关于的函数关系式，并指出的取值范围；
②探索：是否存在这样的，以A为圆心，以长为半径的圆与直线l相切，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由
[题型背景和区分度测量点]
本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到．第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线沿AB边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二．
[区分度性小题处理手法]
1．找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法．
2．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r建立方程．
3．解题的关键是用含的代数式表示出相关的线段.
 [ 略解]
(1)∵A’是矩形ABCD的对称中心∴A’B＝AA’＝AC
∵AB＝A’B，AB＝3∴AC＝6 
 (2)①，，，
∴，
  ()
②若圆A与直线l相切，则，(舍去)，∵∴不存在这样的，使圆A与直线l相切．
[类题]09虹口25题．
（三）面动问题 
如图，在中，，、分别是边、上的两个动点（不与、重合），且保持，以为边，在点的异侧作正方形.
（1）的面积；
（2）当边与重合时，求正方形的边长；
（3）设，与正方形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式，并写出定义域；
（4）当是等腰三角形时，请直接写出的长． 
[题型背景和区分度测量点]
例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D点在AB边上运动时，正方形整体动起来，GF边落在BC边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二．
 [区分度性小题处理手法]
1．找到三角形与正
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