初一数学竞赛系列讲座(14)
抽屉原理
知识要点
抽屉原理1
把n+1个东西，任意地分放到n个抽屉里，那么必有一个抽屉里有2个东西。
抽屉原理2
把m个东西，任意地分放到n个抽屉里，那么必有一个抽屉里至少有k个东西。其中
的整数部分。
上述二个原理统称为抽屉原理。抽屉原理虽然简单、浅显，却是解决很多存在性问题的有力工具。利用抽屉原理解题的一般步骤是：
构造抽屉，指出东西；
将东西放入抽屉，或从抽屉里取出；
说明理由，得出结论。
例题精讲
例1 用2种颜色涂3行9列共27个小方格，证明：不论如何涂色，其中必至少有两列，它们的涂色方式相同.用两种颜色涂１×３的小方格方法用两种颜色涂１×３的小方格共有８种方法．现有９列，由抽屉原，必有两列涂法一样．抽屉原≥2，且≤992
     所以，这种和只有991种。
     而直径有993条，993 991，所以一定可以找到两条直径，它们两端的数的和相等。
评注：由解题过程知本题将“993条直径”改为“992条直径”结论仍然成立。
      如果将结论改为“可以找到两条直径，它们两端的数的和相等”，那么条件“经过圆心任意作993条直径”就要改为“经过圆心任意作1983条直径”。
例3夏令营组织1987名营员去游览故宫、景山公园、北海公园，规定每人最少去一处，最多去两处游览，至少有几个人游览的地方完全相同？试证明你的结论。(第二届迎春杯决赛试题)
分析：将游览方案当作抽屉，将人当作东西，由抽屉原理可得结论。
解：去一处的可能有3种(故宫、景山公园、北海公园)，去两处的可能也有3种(故宫与景山公园、北海公园与故宫、景山公园与北海公园)，由于每人最少去一处，最多去两处游览，所以游览方案共有6种。
    因此，1987个人中至少有个人游览的地方完全相同。
例4在1，4，7，…，100中任选20个不同的数。证明其中至少有4个数a、b、c、d，使a+b=c+d=104.(第39届普特南数学竞赛试题)
分析：考虑和为104的数对。如果两个数取自同一个数对，则它们的和必是104，所以应当将和为104的数对作为抽屉。
解：将1，4，7，…，100这34个数，去掉1与52，分成16个数对：
{4，100}，{7，97}，…，{49，55}，显然每个数对中两数的和为104
所取的20个数中，至少有18个取自这16个数对，则根据抽屉原理，其中必有两个数a、b在同一数对中，它们的和a+b=104。
剩下的16个数，取自其余的15个数对，同样根据抽屉原理，其中必有两个数c、d在同一数对中，它们的和c+d=104。
所以其中至少有4个数a、b、c、d，使a+b=c+d=104.
评注：本题两次使用了抽屉原理。
例5  910瓶红、蓝墨水，排成130行，每行7瓶，证明：不论怎样排列，红蓝墨水瓶的颜色次序必定出现下述两种情况之一种：
（1）至少有三行完全相同；
（2）至少有两组（四行）每组的两行完全相同. （北京1990年高一竞赛）
解910瓶红、蓝墨水排成130行，每行7瓶，对一行来说，每个位置上有红蓝两种可能，因此，一行的红、蓝墨水排法有27=128种，对每一种不同排法设为一种“行式”，共有128种行式.
现有130行，在其中任取129行，依抽屉原则知，必有两行A、B行式相同.
除A、B外余下128行，若有一行P与A行式相同，知满足（1）至少有三行A、B、P完全相同，若在这128行中设直一行5A行或相同，那么这128行至多有127种行式，依抽屉原则，必有两行C、D具有相同行式，这样便找到了（A、B），（C、D）两组（四行），且两组两行完全相同.
从自然数1，2，3，…99，100这100个数中随意取出51个数来，求证：其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的倍数.设法制造抽屉：（1）不超过50个；（2）每个抽屉的里的数（除仅有的一个外），其中一个数是另一个数的倍数一个自然的想法是从数的质因数表示形式入手设第一个抽屉里放进数：1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26；
第二个抽屉时放进数：3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25；
第三个抽屉里放进数：5，5×2，5×22，5×23，5×24；
第二十五个抽屉里放进数：49，49×2；
第二十六个抽屉里放进数：51.
第五十个抽屉里放进数：99.
那么随意取出51个数中，必有两个数同属一个抽屉，其中一个数是另一个数的倍数.
，故以这3个点为顶点的三角形面积不超过该小矩形面积的一半1，问题得证。
例8 有一位国际象棋大师，用11周时间准备一次锦标赛。在准备期间，他决定每天至少参加一次比赛，但每周累计比赛不超过12次。证明：存在连续若干天，这位大师恰好共进行了21次比赛。
证明：设前?天这位大师累计比赛的次数为a i，11周共有77天，故1≤i≤77。
      由于每天至少参加一次比赛，但每周累计比赛不超过12次，故有
       1≤a1 a2 … a77≤11(12=132，
      于是，22≤a1+21 a2+21 … a77+21≤132+21=153
      则在1到153之间共有154个整数：a1，a2，…，a77，a1+21，a2+21，…，a77+21
      由抽屉原理，其中至少有两个数相等。由于a1，a2，…，a77不可能相等，a1+21，a2+21，…，a77+21也不可能相等，所以只可能是某个a i与某个a j+21(j i) 相等，即a i- a j=21。这说明这位大师第j+1天，第j+2天，…，第i天累计比赛21次。
巩固练习
选择题
1、一副扑克有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，最少要抽(     )张才能保证有4张牌是同一花色。
A、12     B、13     C、14     D、15
2、有22只装钢笔的文具盒，如果不管如何装都至少有4只文具盒里的钢笔数相同(不装算0个)，那么每个文具盒最多可装(    )支钢笔。
A、4     B、6     C、7     D、8
3、今有21个自然数a1，a2，…，a21，且a1 a2 … a21≤70，则值相等的差aj-ai(1≤i j≤21)的个数为(     )
  A、0个      B、2个      C、至多有3个     D、至少有4个
4、从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取5个数，则(1)其中必有两数互质；(2)其中必有一数是另一数的倍数；(3) 其中必有一数的两倍是另一数的倍数。以上结论中，正确的个数为(      )
A、0个      B、1个      C、2个     D、3个
5、某校有1200人，则全校在同一天过生日的人至少有（     ）个
A、2      B、3     C、4     D、5
6、从1，2，3，…，n中任取8个数且使其中一定至少有两个数的商不小于又不大于，则n的最大值是（     ）
A、25      B、32     C、39     D、60
填空题
7、把130只苹果分给若干小朋友，如果不管如何分，都至少有一个小朋友分得4只或4只以上的苹果，则小朋友最多有        个。
8、黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子(一双筷子指同色的两根)，则至少要取         根筷子。
9、在一副扑克牌中取牌，至少取       张，才能保证其中必有3张牌的点数相同。
10、不大于10的k个自然数，从中选出三个数，使得其中两数之和等于第三个数，则k的最小值是          
11、在面积为1的平行四边形内有任意五点，则一定存在三点，以这三点为顶点的三角形面积不大于          
12、在1，3，5，7，…，m连续奇数中任取17个数，使其中至少有两个数之差为8，则奇数m的最大值为         
解答题
13、在不超过91的自然数中任取10个数，证明：这10个数中一定有两个数的比值在区间中。
14、设a1，a2，…，an是1，2，…，n的某种排列，且n是奇数，求证：(a1-1)( a2-2)…(a n-n)必是偶数。
15、用2种颜色涂5×5共25个小方格，证明：必有一个四角同色的矩形出现.任选6人，试证其中必有3人，他们互相认识或都不认识.a，b，c，d为四个任意给定的整数，求证：以下六个差数b-a，c-a，d-a，c-b，d-b，d-c的乘积一定可以被12整除.
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