2010中考数学压轴题详解
1.（09年福建龙岩26．（1分）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD.
（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；
（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后                                      再沿x轴对折得到
△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q. 问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
（09年福建龙岩        又D（5，2），
        ∴C（0，2），OC=2 . …………………………… 2分    解得
        ∴抛物线的解析式为： …… 4分分. 
         解得x1=1，x2=4. ∴A（4，0），B（1，0）.   …………………………… 6分°，
         由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，
         ∴点E的坐标为（3，－1）.  ……………………………………………… 7分，得，
         ∴点E在抛物线上. ………………………………………………………… 8分a－1.
                S梯形BCGF = 5，S梯形ADGF = 3，记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，
下面分两种情形：
          ①当S1∶S2 =1∶3时，
此时点P在点F（3，0）的左侧，则PF = 3－a，
由△EPF∽△EQG，得，则QG=9－3a，
∴CQ=3－(9－3a) =3a －6
由S1=2，得，解得；………………… 11分当S1∶S2=∶1时
此时点P在点F（3，0）的右侧，则PF = a－3，
由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－－－，解得.
综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）……… 14分S1∶S2不符合条件，故a≠3.
设直线PQ的解析式为y = kx+b(k≠0)，则，解得，
∴. 由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2） …… 10分a－1，.
下面分两种情形：
①当S1∶S2 = 1∶3时= 2；
  ∴4a－7 = 2，解得；…………………………………………… 12分当S1∶S2 =∶1时；
   ∴4a－7 = 6，解得；[来源:学#科#网]，0）或（，0）………… 14分或两个答案，就给6分. ]
2.（09年福建宁德）26．（本题满分13分）如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；（4分）
（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）
（09年福建宁德26题解析）解：（1）由抛物线C1：得
顶点P的为（-2，-5）   ………2分
∵点B（1，0）在抛物线C1上
∴
        解得，a＝             ………4分
（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G
∵点P、M关于点B成中心对称
∴PM过点B，且PB＝MB
∴△PBH≌△MBG
∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3
∴顶点M的坐标为（4，5）                  ………6分
        抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到
∴抛物线C3的表达式为   ………8分
（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到
∴顶点N、P关于点Q成中心对称
     由（2）得点N的纵坐标为5
设点N坐标为（m，5）            ………9分
     作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G
     作PK⊥NG于K
     ∵旋转中心Q在x轴上
∴EF＝AB＝2BH＝6
     ∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0）
     H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），
根据勾股定理得
     PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104
     PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50
     NF2＝52+32＝34               ………10分
     ①当∠PNF＝，∴Q点坐标为（，0）  
②当∠PFN＝，∴Q点坐标为（，0）
③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90o
综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点
的三角形是直角三角形．       ………13分
3.（09年福建莆田）25．（14分）已知，如图1，过点作平行于轴的直线，抛物线上的两点的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点、，连接．
（1）求点的坐标；
（2）求证：；
（3）点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点，过点作交轴于点，是否存在点使得与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（1）解:方法一如图1当时,
时, 
∴	1分
	2分
设直线的解析式为	3分
则　　　解得
∴直线的解析式为	4分
当时,
	5分
方法二:求两点坐标同方法一,如图2,作,,垂足分别为、,交轴于点,则四边形和四边形均为矩形,设	3分
	4分
解得
	5分
(2)证明：方法一：在中，
	6分
在中，
由（1）得
	7分
	8分
方法二：由 （1）知
	6分
同理：[来源:Z|xx|k.Com]
	7分
同理：
即	8分
（3）存在.
解：如图3，作轴，垂足为点	9分
又[来源:学科网]
	10分
设，则
①当时，
	11分
解得
	12分
②当时，
	13分
解得
综上，存在点、使得与相似.	14分
4.（09年福建泉州）28．（13分）在直角坐标系中，点A（5，0）关于原点O的对称点为点C.
(1)请直接写出点C的坐标；
（2）若点B在第一象限内，∠OAB=∠OBA，并且点B关于原点O的对称点为点D.
①试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
②现有一动点P从B点出发，沿路线BA—AD以每秒1个单位长的速度向终点D运动，另一动点Q从A点同时出发，沿AC方向以每秒0.4个单位长的速度向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.已知AB=6，设点P、Q的运动时间为t秒，在运动过程中，当动点Q在以PA为直径的圆上时，试求t的值.
（09年福建泉州28题解析）28.（本小题13分）
解:（1）C（-5，0）………………………（3分）
（2）①四边形ABCD为矩形，理由如下：
如图，由已知可得：A、O、C在同一直线上，且            OA=OC；B、O、D在同一直线上，且OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形.…………………………………（5分）
∵∠OAB=∠OBA∴OA=OB,即AC=2OA=2OB=BD
∴四边形ABCD是矩形.…………………（7分）
②如图，由①得四边形ABCD是矩形
∴∠CBA=∠ADC=90°……………（8分）
又AB=CD=6，AC=10
∴由勾股定理，得BC=AD=
==8…………………………………（9分）
∵，，∴0≤t≤14.……………………（10分）
当0≤t≤6时，P点在AB上，连结PQ.
∵AP是直径，∴∠PQA=90°…………………………………（11分）[来源:Z,xx,k.Com]，即,解得t=3.6…………………………（12分）
当6＜t≤14时，P点在AD上，连结PQ，
同理得∠PQA=90°，△PAQ∽△CAD
∴，即t-6,解得t=12.
综上所述，当动点Q在以PA为直径的圆上时，t的值为3.6或12.……（13分）
5.（09年福建厦门）26．(11分)已知二次函数y＝x2－x＋c．
(1)若点A(－1，a)、B(2，2n－1)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，求此二次函数的最小值；
(2)若点D(x1，y1)、E(x2，y2)、P(m，n)(m＞n)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，且D、E两点关于坐标原点成中心对称，连接OP．当2≤OP≤2＋时，试判断直线DE与抛物线y＝x2－x＋c＋的交点个数，并说明理由．
（09年福建厦门26题解析）  (1)解：法1：由题意得
                        ……1分
   解得                                                      ……2分
   法2：∵ 抛物线y＝x2－＋， 
    且  －－－∴ A、B两点关于对称轴对称.                              
    ∴ n＝2n－∴ n＝1，c＝－∴ 有 y＝x2－－3分
            ＝(x－－∴ 二次函数y＝x2－－－∵ 点P(m，m)(m＞0∴ PO＝m.
    ∴ 2≤m ≤＋∴
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