解答题
1．(2010江苏苏州) (本题满分9分)如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B．已知A、B两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)．
    (1)求抛物线的解析式；
    (2)设M(m，n)是抛物线上的一点(m、n为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；
    (3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2＞28是
否总成立?请说明理由．
【答案】
2．（10湖南益阳）如图9，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，0），B（6，0），C（0，3）.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
(2)过ＣCD平行于轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；
(3)若抛物线的顶点为ＰＰCＰD，可设抛物线的解析式为，则，　　　　　　　　　
　解得
∴抛物线的解析式为　　　……………………………4分
⑵  的坐标为                      ……………………………5分
直线的解析式为
直线的解析式为
　由
　求得交点的坐标为　　　　　　　   ……………………………8分
⑶　连结交于，的坐标为
又∵，
　　∴，且
　　　　∴四边形是菱形　　　　　　　　　　……………………………12分
3．（2010辽宁市如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边ABAC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形（点M的位置改变时， DMN也随之整体移动） ．
 （1）如图，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；
   （2）如图，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由． 
（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上，   3分
（说明：答对一个给2分）
（2）成立．4分
证明：
法一：连结DE，DF．   5分
∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．
又∵DE，F是三边的中点， 
∴DEDF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．
又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°， 
∴∠MDF=∠NDE． 7分
在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE，
∴△DMF≌△DNE． 8分
∴MF=NE．       9分
法二：
延长EN，则EN过点F．    5分
∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．
又∵DE，F是三边的中点， ∴EF=DF=BF．   
   ∵∠BDM+∠MDF=60°， ∠FDN+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN．7分
又∵DM=DN， ∠ABM=∠DFN=60°，
∴△DBM≌△DFN．8分
∴BM=FN．
∵BF=EF，  ∴MF=EN．9分
法三：
连结DFNF． 5分
∵△ABC是等边三角形， 
∴AC=BC=AC．
又∵DE，F是三边的中点， 
∴DF为三角形的中位线，∴DF=AC=AB=DB． 
又∠BDM+∠MDF=60°， ∠NDF+∠MDF=60°， 
∴∠BDM=∠FDN．  7分
在△DBM和△DFN中，DF=DB，
DM=DN， ∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN． 
∴∠B=∠DFN=60°．分
又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形，
∴∠DFE=60°．
∴可得点N在EF上，
∴MF=EN．          9分
（3）画出图形（连出线段NE）， 11分
MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）． 12分
4．（2010山东日照）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米 ．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距8米．
（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；
（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点 ．
【答案】
23．（本题满分10分）
 AOC中，
∵∠AOC=30 o  ，OA=8，
∴AC=OA·sin30o=8×=，
 OC=OA·cos30o=8×=12．
∴点的坐标为（，））的坐标代入得：
 =12k  ，
∴k= ，
∴OA的解析式为y=x； …………………… ……………………4分
(2) ∵顶点B的坐标是（9，12）, 点O的坐标是（0，0）y=a(x-9)+12，…………………………………6分
把点O的坐标代入得：
0=a（0-9）+12，解得a= ，
∴抛物线的解析式为y= (x-9)+12    
及y= x+ x；   …………………………………………………8分
(3) ∵当x=12时，y= ，
∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点． …………10分
5．（2010山东济宁）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，为边延长线上的一点，为的中点，的垂直平分线交边于，交边的延长线于.当时，与的比值是多少？
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过作直线平行于交，分别于，，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得与的比值.
(1) 请按照小明的思路写出求解过程.
(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.
【答案】
（1）解：过作直线平行于交，分别于点，， 
则，，.
∵，∴.	
∴，.
∴. 	
（2）证明：作交于点，	
则，.
∵，
∴.
∵，，
∴.∴.	∴.	8分
6．（2010四川凉山）已知：抛物线，顶点，与轴交于A、B两点，。
求这条抛物线的解析式；
如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于点F，依次连接A、D、B、E，点Q为线段AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作于，于，请判断是否为定值；若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；
在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作，分别与边、相交于、，（与、不重合，与、不重合），请判断是否成立；若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。
【答案】
7．（2010 嵊州市）（10分）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系。
（1）如图1，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系是什么；
（2）如图2，若AB＝BC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明；
（3）如图3，若AB＝kBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想不用证明。
【答案】（1）AE＝EF
   （2）猜想：（1）中结论没有发生变化，即仍然为AE＝EF（过点E作EH∥AB，可证
△AEH≌△FEC）
   （3）猜想：（1）中的结论发生变化，为AE＝kEF 
8．（2010 浙江省温州市）(本题l2分)如图，抛物线y=ax2+bx经过点A(4，)，B(2，2)。连结OB，AB．
    (1)求该抛物线的解析式；
    (2)求证：OAB是等腰直角三角形；
    (3)将OAB绕点0按顺时针方向旋转l35得到△0A，写出△0A的中点
    P的出标．试断点P此物线，并说明理由．
=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求ED的长．
【答案】(1)；提示证明
（2）①菱形（证明略）
（3）过点E作EG⊥AB，则AG=BG=1
在中，
由（2）知AD=AB=2	∴
10．（2010山东临沂）如图，二次函数的图象与轴交于,两点，且与轴交于点.
（1）求该抛物线的解析式，并判断的形状；
（2）在轴上方的抛物线上有一点,且以四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点,使得以四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】,0）,B（2,0）代入y=-x2+ax+b中，
得
解这个方程，得
所以抛物线的解析式为y=-x2+x+1.
当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0，1）。
所以在△AOC中，AC==.
在△BOC中，BC==.
AB=OA+OB=.
因为AC2+BC2=.
所以△ABC是直角三角形。
（2）点D的坐标是.
（3）存在。
由（1）知，AC⊥BC, 
若以BC为底边，则BC∥AP,如图（1）所示，可求得直线BC的解析式为
.
直线AP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线AP的解析式为，
将A（,0）代入直线AP的解析式求得b=,所以直线AP的解析式为.
因为点P既在抛物线上，又在直线AP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=.
2010年中考数学试题分类大全49_判断说理型问题.doc