★★11、（2010德化）如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. 
① 当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）
（2）①点P不在直线ME上；
②依题意可知：P（,），N（，）
当0＜t＜3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得：
	=+=+=
=
∵抛物线的开口方向：向下，∴当=，且0＜t＜＜3时，=
当时,点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形
依题意可得，==3
综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值． 
★★12、（2010德州）已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．
(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；
(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．
解：（1）∵二次函数的图象经过点C(0，-3)，∴c =-3．
将点A(3，0)，B(2，-3)代入得
解得：a=1，b=-2．∴．
配方得：，所以对称轴为x=1． 
(2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t．
∵点B，点C的纵坐标相等，∴BC∥OA．
过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E．
要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB．
即QE=AD=1．又QE=OE－OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，∴2-0.2t=1．
解得t=5．即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．
②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．
∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，∴BF=CF=OG=1．
又∵BP=OQ，∴PF=QG．又∵∠PMF=∠QMG，∴△MFP≌△MGQ．
∴MF=MG．∴点M为FG的中点，∴S=，
=．由=．
．∴S=．又BC=2，OA=3，
∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒．
∴0 t≤20． ∴当t=20秒时，面积S有最小值3．
★★13、（2010东阳）如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t。求：
（1）C的坐标为         ▲      ；
（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
（3）△HCR面积S与t的函数关系式；
并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形
时t的值及S的最大值。
解：（1）Ｃ（４，１）；
（2）当∠MDR＝45０时，ｔ＝2,点Ｈ（2，0）
当∠DRM＝45０时，ｔ＝3,点Ｈ（3，0）
（3）Ｓ＝－ｔ２＋２ｔ（０＜ｔ≤４）；（1分）Ｓ＝ｔ２－２ｔ（ｔ＞４）
当ＣＲ∥ＡＢ时，ｔ＝，Ｓ＝
当ＡＲ∥ＢＣ时，ｔ＝，Ｓ＝
当ＢＲ∥ＡＣ时，ｔ＝，Ｓ＝ 
★★14、（2010恩施）如图11，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
解：（1）将B、C两点的坐标代入得解得：
所以二次函数的表达式为： 
（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，），
PP交CO于E，若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．
连结PP 则PE⊥CO于E，∴OE=EC=∴=．
∴= 
解得=，=（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（，）
（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，），
易得，直线BC的解析式为，则Q点的坐标为（x，x－3）.
=
当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的
面积． 
★★15、（2010广安）如图，直线y = -x-1与抛物线y=ax2+bx-4都经过点A(-1, 0)、B(3, -4)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值；
（3）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使△PCQ是以PC为直角边的直角三角形?若存在，请求出Q点的坐标；若不存在．请说明理由．
解：（1）由题知，解得a=1, b= -3 ，
∴抛物线解析式为y=x2-3x-4  
（2）设点P坐标(m, -m-1)，则E点坐标(m, m2-3m-4)
∴线段PE的长度为：-m-1- (m2-3m-4)= -m2+2m+3 = -(m-1)2+4
∴由二次函数性质知当m=1时，函数有最大值4，所以线段PE长度的最大值为4。 
（3）由（2）知P(1, -2)
①过P作PC的垂线与x轴交于F，与抛物线交于Q， 
设AC与y轴交于G，则G(0, -1)，OG=1，又可知A(-1, 0)  则OA=1，∴△OAG是等腰直角三角形，∴∠OAG=45o
∴△PAF是等腰直角三角形，由对称性知F(3, 0)
设直线PF的解析式为y=k1x+b1，则
，解之得k1=1, b1= -3，∴直线PF为y=x-3
由解得  
∴Q1(2+, -1)  Q2(2-, --1)
②过点C作PC的垂线与x轴交于H，与抛物线交点为Q，由∠HAC=45o，知△ACH是等腰直角三角形，由对称性知H坐标为(7, 0)，设直线CH的解析式为y=k2x+b2，则
，解之得k2=1, b2= -7，∴直线CH的解析式为y=x-7
解方程组得 
当Q(3, -4)时，Q与C重合，△PQC不存在，所以Q点坐标为(1, -6)
综上所述在抛物线上存在点Q1(2+, -1)、Q2(2-, --1)、Q3(1, -6)使得△PCQ是以PC为直角边的直角三角形。
★★16、（2010广州）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；
（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.
解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．
∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．
在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．
（2）∠ACB是定值.
理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，
因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，
因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；
（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.
∴
＝AB?DE＋BC?DH＋AC?DG＝(AB＋BC＋AC) ?DE＝l?DE．
∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.
∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，
∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．
又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，
∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝，
∴△ABC的周长为．
★★17、（2010广州）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.
解：（1）由题意得B（3，1）．
若直线经过点A（3，0）时，则b＝
若直线经过点B（3，1）时，则b＝
若直线经过点C（0，1）时，则b＝1
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a，
2010年中考数学压轴题精选(二)及答案.doc