★★21、（2010黄冈）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.
（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x＝1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.
解：（1）a＝－1，b＝2，c＝0
（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为.此时，MP＝MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形.
（3）不存在.因为当t＜，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞，x＞1时，PM与PN不可能相等.
★★22、（2010济南）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C．
⑴求A、B、C三个点的坐标．
⑵点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以A为圆心、AP为半径圆弧与线段AC交于点M，以B为圆心、BP为半径圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN．
①AN=BM．
②，
解：⑴令，
解得，∴A(－1，0)，B(3，0)∵=，∴抛物线的对称轴为直线x=1，将x=1代入，得y=2，∴C（1，2）.  ⑵①在Rt△ACE中，tan∠CAE=，∴∠CAE=60o，由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴△ABC为等边三角形，∴AB= BC =AC = 4，∠ABC=∠ACB= 60o，又∵AM=AP，BN=BP，∴BN = CM， ∴△ABN≌△BCM，                 ∴AN=BM.    
②四边形AMNB的面积有最值设AP=m，的面积为S，由①可知AB= BC= 4，BN = CM=BP，×42=，
∴CM=BN= BP=4－m，CN=m，              过M作MF⊥BC,垂足为F则MF=MC?sin60o=，∴S△CMN==?=，∴S=S△ABC－S△CMN=－（）
=    ∴m=2时，S取得最值.  
★★23、（2010济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.
（1）解：设抛物线为.
∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.
∴抛物线为.	
 (2) 答：与⊙相交.
证明：当时，，.
            ∴为（2，0），为（6，0）.∴.
设⊙与相切于点，连接，则.
∵，∴.
又∵，∴.∴∽.
∴.∴.∴.
∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.
∴抛物线的对称轴与⊙相交. 
(3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.
可求出的解析式为.
设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.
           ∴.
           ∵,
           ∴当时，的面积最大为.
           此时，点的坐标为（3，）.  
★★24、（2010晋江）已知：如图，把矩形放置于直角坐标系中，，，取的中点，连结，把沿轴的负方向平移的长度后得到.
(1)试直接写出点的坐标；
(2)已知点与点在经过原点的抛物线上，点在该抛物线上移动，过点作轴于点，连结.
①若以、、为顶点的三角形与相似，试求出点的坐标；
②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最大.
； 
(2) ① ∵，，
∴.
∵抛物线经过原点，∴设抛物线的解析式为
又抛物线经过点与点
∴   解得：∴抛物线的解析式为.∵点在抛物线上，∴设点.
1)若∽，则， ，解得：(舍去)或，∴点.
2)若∽，则， ，解得：(舍去)或，
∴点.
②存在点，使得的值最大.
抛物线的对称轴为直线，设抛物线与轴的另一个交点为，则点.，∵点、点关于直线对称，∴，要使得的值最大，即是使得的值最大，
根据三角形两边之差小于第三边可知，当、、三点在同一直线上时，的值最大. 
设过、两点的直线解析式为，
∴    解得：
∴直线的解析式为.
当时，.
∴存在一点使得最大. 
★★25、（2010）如图，在等边中，线段为边上的中线. 动点在直线上时，以为一边且在的下方作等边，连结.
(1) 填空：度；
(2) 点在线段上(点不运动到点)时，试求出的值；
(3)若，以点为圆心，以5为半径作⊙与直线相交于点、两点，在点运动的过程中(点与点重合除外)，试求的长.
与都是等边三角形
∴，，
∴
∴，∴≌
∴，∴.
(3)①当点在线段上（不与点重合）时，由(2)可知≌，则，作于点，则，连结，则.
在中，，，则.
在中，由勾股定理得：，则
②当点在线段的延长线上时，∵与都是等边三角形
∴，，
∴
∴
∴≌
∴，同理可得：.
③当点在线段的延长线上时，
∵与都是等边三角形
∴，，
∴
∴
∴≌
∴，∵
∴，∴.
同理可得：，综上，的长是6. 
★★26、（2010莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；
（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.
解：（1）∵抛物线经过点，，．
∴， 解得.
∴抛物线的解析式为：.    
（2）易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．
∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8．                   
连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M．
在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF=．
∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°．
∴劣弧EF的长为：．               
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b.  ∵直线AC经过点.
∴，解得.∴直线AC的解析式为：. 
设点，PG交直线AC于N，
则点N坐标为.∵.
∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=GN.
即=.
解得：m1=－3， m2=2（舍去）.
当m=－3时，=.
∴此时点P的坐标为.    
②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN.
即=.
解得：，（舍去）.当时，=.
∴此时点P的坐标为.
综上所述，当点P坐标为或时，
△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分．    
★★27、（2010丽水）小刚上午7：步，用时10分钟，到达学校的时间是7：：1200÷10=120(步)÷150=(米)，
所以小刚上学的步行速度是120×=80(米/分)．					
小刚家和少年宫之间的路程是80×10=800(米)．					
少年宫和学校之间的路程是80×(25-10)=1200(米)．					
(2)　①　(分钟)，
所以小刚到家的时间是下午5：00．									
②　小刚从学校出发，以45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了900米，用时分，此时小刚离家1 100米，所以点B的坐标是（20，1100）．
线段CD表示小刚与同伴玩了30分钟后，回家的这个时间段中离家的路程s(米)与行走时间t(分)之间的函数关系，由路程与时间的关系得 ，
即线段CD所在直线的函数解析式是．					……2分
(线段CD所在直线的函数解析式也可以通过下面的方法求得：
点C的坐标是（50，1100），点D的坐标是（60，0）
设线段CD所在直线的函数解析式是，将点C，D的坐标代入，得
   解得　
所以线段CD所在直线的函数解析式是)
★★28、（2010丽水）△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．
(1)　当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；
(2)　如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：
①　当，，时，A，B两点是否都
在这条抛物线上？并说明理由；
②　设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不
可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；
若不存在，请说明理由．
解：(1)　 ∵　点O是AB的中点，　∴　．				
设点B的横坐标是x(x 0)，则，					
解得　，(舍去)．	∴　点B的横坐标是．					
(2)　①　当，，时，得　　……(＊)．											
以下分两种情况讨论．
情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为，
．			
由此，可求得点C的坐标为(，)，	
点A的坐标为(，)，
∵　A，B两点关于原点对称，
∴　点B的坐标为(，)．
将点A的横坐标代入(＊)，即等于点A的纵坐标；
将点B的横坐标代入(＊)，即等于点B的纵坐标．
∴　在这种情况下，A，B两点都在抛物线上．		
2010年中考数学压轴题精选(三)及答案.doc