二0一0年中考数学压轴题汇总一
1．(12分)  如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】第一小题考查学生求解二次函数解析式与顶点坐标，坡度设置合理，学生上手容易，第二小题属于在平面直角坐标系中考查学生运用勾股定理的逆定理来论证直角三角形，只需要第一小题计算正确，绘制出点的坐标后利用两点的距离公式即可完成解答，第三小题给予区分度指标的要求，在二次函数中融入相似形的不确定性，引入对学生空间想象力和分类讨论，抓住直角的不变性，用夹直角的两边对应成比例求解即可获得答案．
【答案】解：（1）设该抛物线的解析式为，
由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知. 
即抛物线的解析式为过A（－1，0）、B（3，0），
∴ 解得.
∴ 抛物线的解析式为y = x2－2x－3．  ∴ 顶点D的坐标为.   
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形.   
理由如下：
过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.
在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴ .  
在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ . 
在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ . 
∴ ， 故△BCD为直角三角形.     
（3）连接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）． 
过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1 ∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，
求得符合条件的点为． 
过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，
求得符合条件的点为P2（9，0）．  
    ∴符合条件的点有三个：O（0，0），，P2（9，0）.
  	【涉及知识点】二次函数、直角三角形、相似形
【点评】本题坡度设置合理，以二次函数为载体，分别考查学生求解二次函数解析式和顶点坐标、论证直角三角形、和利用相似形来确定点的坐标，考查知识点较多，综合度也较合理，信度效度指标合理，区分度明显，较好体现二期课改对于学生学习过程性目标的考查．
【推荐指数】★★★★★
2、28. (2010甘肃兰州,28, 11分)如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD＝2，AB＝3；抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）
（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. 
① 当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．
【分析】（1）（2）ME解析式,然后确定P点的坐标来判断是否在直线ME上；（3）【答案】（1）因抛物线经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0）
故可得c＝0,b＝4
所以抛物线的解析式为
由）
得当x＝2时，该抛物线的最大值是4（2）① 点P不在直线ME上.                              
已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)，
设直线ME的关系式为y＝kx+b.
于是得  ，解得
所以直线ME的关系式为y＝2x+8 
由已知条件易得，当时，OA＝AP＝，,) 
∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y＝2x+8.        [来源:Zxxk.Com]
∴ 当时，点P不在直线ME上②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5
∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， 
∴ OA＝AP＝t.
∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) 
∴ AN＝-t 2+4t (0≤t≤3) ,
∴ AN-AP＝(-t 2+4 t)- t＝-t 2+3 t＝t(3-t)≥0 ,     ∴ PN＝-t 2+3 t   （ⅰ）当PN＝0，即t＝0或t＝3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴ S＝DC·AD＝×3×2＝3. 
（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形
∵ PN∥CD，AD⊥CD，
∴ S＝ (CD+PN)·AD＝ [3+(-t 2+3 t)]×2＝-t 2+3 t+3当-t 2+3 t+3＝5时，解得t＝1、2 而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5
综上所述，当t＝1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，
当t＝1时，此时N点的坐标（1,3）当t＝2时，此时N点的坐标（2,4）【涉及知识点】
【点评】【推荐指数】★
3、（2010安徽，23，14分）如图，已知△ABC∽△，相似比为（），且△ABC的三边长分别为、、（），△的三边长分别为、、．
（1）若，求证：；
（2）若，试给出符合条件的一对△ABC和△，使得、、和、、都是正整数，并加以说明；
（3）若，，是否存在△ABC和△使得？请说明理由．
【分析】取一个合适的值即可；（3）可先假设这两个三角形存在，然后推理导出矛盾，否定原先的假设．
【答案】 ，∴，∴
又∵，∴                                                  …………（3分）
（2）解：取，同时取  …………（8分）
此时，∴△ABC∽△A 1B1C1且  …………（10分）
注：本题也是开放型的，只要给出的△ABC和△A 1B1C1符合要求就相应赋分．
（3）不存在这样的△ABC和△A 1B1C1，理由如下：
若，则
又∵
∴ 
∴                                                                 …………（12分）
∴，而，
∴故不存在这样的△ABC和△A 1B1C1，使得．                           …………（14分）
注：本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理，只要能说明在题设要求下的情况不可能即可．
  	【涉及知识点】【点评】
【推荐指数】★★★★★2010-6-21）
今年的试卷较去年偏容易，这一点首先从学生刚走出考场的那一刻起，学生脸上洋溢着的笑容就可以推测出来。随便找几年同学打听，一致反应“很常规”，没有什么“创新”题。
第二点感受是看到试卷后，发现今年对开放题比较注重，如图形变换，无独有偶，去年也考了一道图形变换综合题，而且答案也是多种多样的。
二次函数的考查仍是一个重点，考查了：求二次函数的解析式、二次函数的增减性、二次函数的最值等。
4、（2010安徽芜湖，24，14分），1）、C（－3，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－，1）、F（－，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．
（1）求折痕所在直线EF的解析式；
（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；
（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．
【分析】-=2；B′E= BE=2,再根据勾股定理求出AB′=3,从而求出B′的坐标为（0，-2），根据B、E、B′的坐标即可求出二次函数解析式。（3）根据对称性，BB′关于直线EF对称，连结B′C,交直线EF于点P,点P即为所求。点P的坐标的求法是先求B′C的解析式，将它和EF的解析式组成方程组，其解就是点P的坐标。
【答案】解：（1），1）、F（,0）的坐标代入
1=－k+b              解得：k=
0=k+b                    b=4
所以，直线EF的解析式为y=x+4
(2)设矩形沿直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′
∵BE=3-=2；∴B′E= BE=2
在Rt△A中， A B′＝∴B′的坐标为（0，-2）
设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c
把点B（－3，1）、E（－，1）、B′（0，-2）代入
-2=c                                  a=
3a－b+c=1                  解得： b=
27a－3b+c=1                       c=－2
∴二次函数的解析式为y=x2x－2
（3）k+b
所以，直线B′C的解析式为
又∵P为直线B′C和直线EF的交点，
∴          解得：   
     y=x+4                      
∴点P的坐标为（  ， ）
  	【涉及知识点】
【点评】【推荐指数】★10，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.
（1）当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
（2）当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.
2010中考压轴题1.doc