二0一0年中考数学压轴题汇总八
1、（2010天门，25，12分）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M.点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q.
  (1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
  (2)是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
  (3)若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由.
【分析】
【答案】
所以经过B、E、C三点的抛物线的解析式为y=-(x+2)(x-4)=-x2+x+4.
(2) y=-x2+x+4=-（x-1）.
易知直线AD解析式为y=x+2，所以M（1，3），过点M作MR⊥PQ于点R，因为△AOD是等腰直角三角形，结合题意可知△MPQ是等腰直角三角形，设MN=m，则PQ=2m，所以P(1-m，3-m)，Q(1-m，3+m)，所以
-（1-m-1）=3+m，解得m1=1，m2=-3（不合题意，舍去）
此时P(0，2)
（3）
  	【涉及知识点】【点评】（2010 武汉25题分）如图1，抛物线经过点A（－1，0），C（0，）两点，且与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线解析式； 
（2）若抛物线的顶点为点M，点P为线段AB上一动点（不与B重合），Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设OP=x，MQ=，求于x的函数关系式，并且直接写出自变量的取值范围；
（3）如图2，在同一平面直角坐标系中，若两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于E、G两点，与（2）中的函数图像交于F、H两点，问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求出m、n之间的数量关系；若不能，请说明理由．
【分析】（1）问直接代入已知点到解析式即可求出解；（2）中是关于动点问题，可以利用动中取静的方法求解PM2的获取，△MPQ~△MBP的发现，从而得到PM2=MQ(MB；（3）可先尝试动手画，然后再根据自己画的图形，．
【】(1) ∵拋物线y1=ax2(2ax(b经过A((1，0)，C(0，)两点，∴，∴a= (，
          b=，∴拋物线的解析式为y1= (x2(x(．
   (2) 作MN(AB，垂足为N．由y1= (x2(x(易得M(1，2)，
      N(1，0)，A((1，0)，B(3，0)，∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，
      (MBN=45(．根据勾股定理有BM 2(BN 2=PM 2(PN 2．
      ∴(2)2(22=PM2= ((1(x)2…(，又(MPQ=45(=(MBP，
      ∴△MPQ~△MBP，∴PM2=MQ(MB=y2(2…(．
      由(、(得y2=x2(x(．∵0(x 3，∴y2与x的函数关系式为y2=x2(x((0(x 3)．
   (3) 四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是
      m(n=2(0(m(2，且m(1)．∵点E、G是抛物线y1= (x2(x(
      分别与直线x=m，x=n的交点，∴点E、G坐标为
      E(m，(m2(m()，G(n，(n2(n()．同理，点F、H坐标
      为F(m，m2(m()，H(n，n2(n()．
      ∴EF=m2(m((((m2(m()=m2(2m(1，GH=n2(n((((n2(n()=n2(2n(1．
      ∵四边形EFHG是平行四边形，EF=GH．∴m2(2m(1=n2(2n(1，∴(m(n(2)(m(n)=0．
      由题意知m(n，∴m(n=2 (0(m(2，且m(1)．
      因此，四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m(n=2 (0(m(2，且m(1)．
【涉及知识点】二次函数、相似、平行四边形的性质等．
【点评】此题是集动点、猜想、函数等知识于一身的综合性大题．万变不离其中，只要我们平时打好基础，再难的问题，都可迎刃而解的．
如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．点M以每秒1个单位的速度，从点A沿线段AB向点B运动同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当时，求线段的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；
（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】．．
于是对于第（1）小题，可利用锐角三角函数或相似三角形对应边成比例顺利求出线段的长．当0＜t＜2时，一定是锐角，所以可以分和两种情况来分析．当t＞2时，，而线段，所以PA=QM，这样容易证明∥，进而可得△CRQ∽△CAB，所以为定值．【答案】解：（1）过点C作于F，则四边形AFCD为矩形．
∴，．
此时，Rt△AQM∽Rt△ACF．∴．
即，∴．
（2）∵，故有两种情况：
①当时，点P与点E重合．
此时，即，∴．②当时，如备用图1，
此时Rt△PEQ∽Rt△Q，∴．
由（1）知，，
而，
∴．   ∴．
综上所述，或．
（3）为定值．当＞2时，如备用图2，．
．
∴．      ∴．
∴．  ∴．
∴四边形AMQP为矩形．  ∴∥．∴△CRQ∽△CAB．
∴．  	【涉及知识点】【点评】
图7
	【分析】【答案】  解得
∴所求抛物线的解析式为．
（2）将抛物线的解析式配方，得．
∴抛物线的对称轴为x=2．
∴D（8，0），E（2，2），F（2，0）．
欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE．即BP=FQ．
∴t=6－3t，即t=．
  	（3）欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，
∵∠PBO=∠BOQ=90°，∴有或，
即PB=OQ或OB2=PB·QO．
①若P、Q在y轴的同侧．当PB=OQ时，t=8－3t，∴t=2．时，．
②若P、Q在y轴的侧．当PB=OQ时，∴t=4．时，．
∵t= 0．故舍去，∴t=．
∴当t=2或t=或t=4或t=秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似．	
【涉及知识点】【点评】在第一象限相交于点C；以AC为斜边、为内角的直角三角形，与以CO为对角线、一边在x轴上的矩形面积相等；点C,P在以B为顶点的抛物线y=上；直线y=hx+d、双曲线y=和抛物线同时经过两个不同的点C，D。
（1）确定t的值
（2）确定m , n , k的值
（3）若无论a , b , c取何值，抛物线都不经过点P，请确定P的坐标
（12分）
（第24题）
【分析】（x1，y1），x1y1=t．，再根据面积相等，进而求得C点坐标，便可求出t的值；（2）根据抛物线顶点B，得到两个等式，以及C点 在抛物线上，又得一等式，由三个等式联立，便可求出m、n、k；（3）根据直线与双曲线的交点C、D，求出后代入抛物线方程可得两个等式，可把抛物线方程中的参数a、b、c消去两个，再根据P点在y=上，可设出坐标，代入后得到的方程无解，进而求出a、b、c．
【答案】解：
（1）直线过点AB，则0=h+d和1=d,即y=x+1.
双曲线y=经过点C（x1，y1），x1y1=t．
      以AC为斜边，CAO为内角的直角三角形的面积为×y1×(1+x1);
以CO为对角线的矩形面积为x1y1，
×y1×(1+x1)＝x1y1，因为x1，y1都不等于0，故得x1＝1，所以y1=2.
故有，，即t=2. 
（2）∵B是抛物线y＝mx2＋nx＋k的顶点，有－ ，
得到n=0，k=1. C是抛物线y＝mx2＋nx＋k上的点，有2＝m(1)2+1,得m=1
（3）设点P的横坐标为p，则纵坐标为p2+1.
抛物线y=ax2+bx+c经过两个不同的点C，D，
其中求得D点坐标为（－2，－1）．.
故 2＝a＋b＋c，
－1＝4a－2b＋c．     
解之得，b＝a＋1, c＝1－2a. y=ax2＋( a＋1)x＋（1－2a ）        
于是：  p2+1≠a p2＋（a＋1）p＋（1－2a）无论a取什么值都有p2－p≠（p2＋p－2）a．
故a≠０，
解之p＝0，p＝1，并且p≠1p≠－2.得p＝0. 
符合题意的P点为（0，1）.
，解之p＝1p＝－2，并且p≠0p≠1.
得p＝－2.符合题意的P点为（－2，5）．
符合题意的P点有两个（0，1）和（－2，5）.解法：
－－－－－－－－－解法：
如图, 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线CD上除C，D外的其他点．
(只经过直线CD上的CD点). 
由
解得交点为C（1，2）B（0，1）．
故符合题意的点P为（0，1）. 
抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x＝－2上除D外的其他点. 
由 
解得交点P为（－2，5）
抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x＝1上除C外的其他点,
而解得交点为C（1，2）
故符合条件的点P为（0，1）或（－2，5）
【涉及知识点】【点评】（2010湖南永州，24，10分）已知二次函数的图象与x轴有且只有一个交点A(－2 ，0)，与y轴的
2010中考压轴题8.doc