第27章 梯形
一、选择题
1. （2011江苏扬州，7,3分）已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等。其中假命题有（   ）
A. 1个     B. 2个     C.  3个     D. 4个  
【答案】
2. （2011山东滨州，12，3分）如图,在一张△ABC纸片中, ∠C=90°, ∠B=60°,DE是中位线,现把纸片沿中位线DE剪开,计划拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为(    )
A.1              B.2              C.3                  D.4
【答案】C
3. （2011山东烟台，6,4分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是
A.8    B.9    C.10     D.12
【答案】B
4. 【答案】
5. （2011台湾台北，15）图(五)为梯形纸片ABCD，E点在上，且，＝3，＝9，＝8。若以为折线，将C折至上，使得与交于F点，则长度为何？
A． 4.5        B。5        C。5.5        D．6
【答案】B
6. 
7. （2011山东临沂，12，3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝2，BC＝6，∠B＝60°，则梯形ABCD的周长是（    ）
A．12            B．14          C．16           D．18
【答案】C
8. （2011四川绵阳11，3）如图，在等腰梯形站ABCD中，AB//CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD=30°，AC⊥BC, AB = 8cm,则△COD的面积为
A.        B.           C.        D. 
【答案】A
9. （2011湖北武汉市，7，3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是?A．40°．　　    B．45°． ?C．50°．　　   　D．60°．
?【答案】C
10．（2011湖北宜昌，12，3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E,F,G,H分别是AB,BC，CD，DA的中点，则下列结论一定正确的是(     ).
A. ∠HGF = ∠GHE      B. ∠GHE = ∠HEF   
C. ∠HEF = ∠EFG       D. ∠HGF = ∠HEF
【答案】
二、填空题
1. （2011福建福州，14分）4,直角梯形中,∥,,则      度.
【答案】
2. (2011 浙江湖州，14，4)如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1：9AD=1，则BC的长是       ．
【答案】3
3. 
【答案】
4. （2011江苏连云港，16，3分）一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角线长为_______.
【答案】
5. 
6. （ 2011重庆江津， 13，4分）在梯形ABCD中,AD∥BC,中位线长为5,高为6,则它的面积是___________.
【答案】
7. ．等腰梯形的腰长为5㎝，它的周长是22㎝，则它的中位线长为___________㎝．
【答案】6
8. 2011山东临沂，19，3分）如图，上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形，则在第10个这样的图形中，共有         个等腰梯形．
   ⑴             ⑵              ⑶
【答案】100
9. （2011湖北襄阳，1，3分）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动.当运动时间t＝      秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形.
【答案】
10．（2011江苏盐城，15，3分）将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是   ▲   ．
【答案】
三、解答题
1. （2011安徽芜湖，21，8分）如图，在梯形ABCD中，DC‖AB，AD=BC, BD平分过点D作，过点C作，垂足分别为E、F，连接EF，求证：为等边三角形. 
【答案】
证明:因为DC‖AB，，所以.
又因为平分，所以  ……2分
因为DC‖AB，所以，所以 
所以 4分
因为，所以F为BD中点，又因为，
所以 ……6分
 由，得，
所以为等边三角形.      ………………8分
2. （2011山东菏泽，17（2），7分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=，∠C=，AD=1，BC=4， E为AB中点，EF∥DC交BC于点F， 求EF的长．
解：过点A作AG∥DC，∵AD∥BC，
∴四边形AGCD是平行四边形，     
∴GC=AD，∴BG=BC－AD=4－1=3，                           
在Rt△ABG中，
AG=，               
∵EF∥DC∥AG，
∴，
∴EF=．  
3. （2011山东泰安，27 ，10分）已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=900，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图①），求证：△AOE∽△COF
（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE于点G（如图②），求证：四边形EFDG是菱形。
【答案】证明：∵点E是BC的中点，BC=2AD
∴EC=BE=BC=AD
又∵AD∥EC
∴四边形AECD为平行四边形
∴AE∥DC
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO
∴△AOE△COF
（2）证明：连接DE
∵AD∥BE ，AD=BE
∴四边形ABED是平行四边形
又∠ABE=900
∴ABED是矩形
∴GE=GA=GB=GD=BD=AE
∵E、F分别是BC、CD的中点
∴EF、E是△CBD的两条中位线
∴EF=BD=GD，GE=CD=DF
又GE=D∴EF=GD=GE=DF
则四边形EFDG是菱形
4. 如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC,点E,F在BC上，且BE=CF,连接DE,AF.求证：DE=AF. 
【答案】证明：∵BE=FC
∴BE+EF=FC+EF,即BF=CE
∵四边形ABCD是等腰梯形
∴AB=DC  ∠ B=∠C
在⊿DCE和⊿ABF中，
DC=AB
∠B=∠C
CE=BF
∴⊿DCE≌⊿ABF(SAS) 
∴DE=AF
5. （2011四川南充市，21，8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M是BC的中点。
（1）求证：⊿MDC是等边三角形；
（2）将⊿MDC绕点M旋转，当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC即MC′)同时与AD交于一点F时，点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿AEF周长的最小值
【答案】（1）证明：过点D作DP⊥BC,于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q,
∵∠C=∠B=600
∴CP=BQ=AB,CP+BQ=AB 
又∵ADPQ是矩形，AD=PQ,故BC=2AD,
由已知，点M是BC的中点，
BM=CM=AD=AB=CD, 
即⊿MDC中，CM=CD, ∠C=600,故⊿MDC是等边三角形.
（2）解：⊿AEF的周长存在最小值，理由如下：
连接AM,由（1）平行四边形ABMD是菱形，⊿MAB, ⊿MAD和⊿MC′D′是等边三角形，
∠BMA=∠BME+∠AME=600, ∠EMF=∠AMF+∠AME=600
∴∠BME=∠AMF）
在⊿BME与⊿AMF中，BM=AM, ∠EBM=∠FAM=600
∴⊿BME≌⊿AMF(ASA) 
∴BE=AF, ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB
∵∠EMF=∠DMC=600 ,故⊿EMF是等边三角形，EF=MF. 
∵MF的最小值为点M到AD的距离，即EF的最小值是.
⊿AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF,
⊿AEF的周长的最小值为2+.
6. （2011浙江杭州22， 10)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F．
(1)求证：△FOE≌ △DOC；
(2)求∠OEF的值；
(3)若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求的值．
【答案】(1)证明：∵E，F分别为线段OA，OB的中点，∴EF∥AB，AB＝2EF，∵AB＝2CD，∴EF＝CD，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠OEF＝∠OCD，∠OFE＝∠ODC，∴△FOE≌ △DOC；，
 (2) 在△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴，．∵EF∥AB，∴∠OEF＝∠CAB，∴
 (3) ∵△FOE≌ △DOC，∴OE＝OC，∵AE＝OE，AE＝OE＝OC，∴．∵EF∥AB，∴△CEH∽△CAB，∴，∴，∵EF＝CD，∴
，同理
2011年中考数学试题分类27 梯形.doc