八年级数学竞赛讲座 四边形（1）
一、知识要点：
1、平行四边形的定义、性质、判定；2、多边形的定义、内角和、外角和、对角线条数；
3、矩形、菱形、正方形的定义、性质、判定；
二、典型例题：
1、一个多边形，除了一个内角外，其余各内角的和为2750°，求这个多边形的边数；
2、在四边形ABCD中,E、F是AB、BC的中点，DE、DF分别交AC于点M、N，若M、N是AC的三等分点，
求证：四边形ABCD是平行四边形。
变形：（1）□ABCD中，M、N分别是AC的三等分点，连结DM并延长交AB于E，连结DN并延长交BC于F，求证：E、F分别是AB、BC的中点；
（2）□ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，DE、DF分别交AC于M、N，
求证：M、N分别是AC的三等分点；
3、如图：在□ABCD中，∠ABC=70°，BC=2AB，CE⊥AB，
E为垂足，M为AD的中点，连结ME，求∠AEM的度数；
4、如图：分别以△ABC的两边AB、AC为边长向形外作正方形
ABDE和ACFG，AH⊥BC于点H，HA的延长线交EG于点M，
求证：EM=MG
变形：分别以△ABC的两边AB、AC为边长向形外作正方形ABDE和ACFG，M是EG中点，延长MA交BC于H，求证：AH⊥BC；
5、如图：M、N分别是正方形ABCD的两边AD和DC的中点，
CM与BN相交于点P，求证：PA=AB；
6、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
点Q是CD上任意一点，DP⊥AQ交BC于点P，
求证：（1）DQ=CP；（2）OP⊥OQ；
7、如图：在正方形ABCD中，BE∥AC，AE=AC。
求证：CF=CE
8、如图：正方形ABCD的面积为1，P是正方形内一点，
若△PBC是等边三角形，求△PBD的面积；
9、如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，P是DE的中点，过P向AB、BC、CA作垂线，垂足分别为B、M、Q、N，求证：PQ=PM+PN；
10、已知P为正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、D的距离
分别为1，3，。求正方形ABCD的面积；
作业题：1、边长为24cm的正方形ABCD的纸，AB上有一点P，
且AP=7cm，折纸使点D落在点P上，求折痕EF的长；
2、若以正方形ABCD的一边AB为斜边向形外作等腰直角三角形AEB，连结EO，则∠BEO=∠AEO，若以AB为斜边向形外任作一直角三角形ABE，连结EO，是否还有这样的结论？试予以证明。
3、如图已知ABCD为正方形，∠BAM=∠MBA=15°，
求证：△CMD为等边三角形。
4、已知四边形ABCD，从（1）AB∥DC；（2）AB=DC；（3）AD∥BC；（4）AD=BC；（5）∠A=∠C；（6）∠B=∠D中取两个条件加以组合，能推出ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请写出这些组合；不能推出ABCD是平行四边形的，请举一反例。
5、设凸四边形ABCD的4个顶点满足条件：每一点到其他3点的距离之和都要相等，试判断这个四边形是什么四边形？请证明你的结论；
6、正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，写出推导的过程；
7、如图所示：在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，求PE+PF的值；
8、一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？请写出你的所有折法，并证明折法的正确性；
9、已知有长度分别为1，2，3，……1999的线段，用这些线段连起来做边，能否构造成一个：（1）正方形？（2）矩形？构造时要求所有这些线段都用到，每条线段不能分断。
10、已知一张矩形纸片ABCD，AB=a，BC=ka，将纸片折叠一次，使顶点A与C重合，如果纸片不重合部分的面积为，试求k的值；
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P
B  F C
B       C
P
A       D
EA N
   D P  E
B    Q C

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