八年级数学竞赛讲座 相似形（2）
知识要点：
1、三角形相似的判定及其性质；2、面积问题；
例题：
1、如图：BD：DC=5：3，E为AD的中点，求BE：EF的值；
2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于O点，过点B作BE∥CD交CA的延长线于点E，求证：·OE
3、如图，在△ABC中，AD是中线，过点C作直线CF分别交AD、AB于点E、F，
求证：AE：DE=2AF：BF；
4、如图，点E在等边△ABC的AC边上，在BC的延长线上截取CD=AC，VF=CE，AF和DE相交于点H，
求证：
5、如图，已知直角三角形的铁片ABC的两条直角边BC、AC的长分别为3、4，按图示所采用两种方法，各剪一块正方形的铁片，试比较哪一种方法剪出的正方形的面积较大；
6、如图：△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，M为DE的中点，AM与BE相交于点N，AD与BE相交于点F，
求证：△BCE∽△ADM；（2）AM⊥BE
7、已知：如图1，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立，（不要求证明）
若将图1中的垂直改为斜交，如图2，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过点E作EF∥AB，交BD于点F，则：
（1）还成立吗？如果成立，请给出证明，如果不成立，请说明理由；
请找出间的关系式，并给出证明；
8、如图：已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似；
9、在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，点M在AD上，且2AD·AM=BD·DC，BM交AC于E，EF⊥BC于F，AE=4，EC=9，求EF的长？
10、在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB+BD=25，AC－CD=4，求AD的值；
11、设△ABC的三边分别为a、b、c，
求证：（1）若∠A=2∠B，则；
     （2）若∠A=3∠B，则；
12、设O为△ABC内一点，过O作EF∥BC、GH∥AB、PQ∥AC，E、P在AB上，H、Q在BC上，F、G在AC上，
求证：（1）；
     （2）；
作业题：
1、如图：在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=125，CD=DA=80，问对角线BD能否把梯形分成两个相似的三角形？若不能，给出证明；若能，求出BC、BD的长；
2、如图，在△ABC中，AB=2，AC=，∠A=∠BCD=45°，D在AB的延长线上，求BC的长及△BDC的面积；
3、请将图中的△ABC剪成6个三角形，使每一个都与原三角形相似（写出剪法，并在图上画出剪切的痕迹）；
4、等腰△ABC的顶角∠A=108°，BC=m，AB=AC=n，记
，试比较x、y、z之间的大小关系；
5、如图，P是△ABC内一点，满足∠APB=∠BPC=∠CPA，且2∠B=2∠A+∠C，
求证：
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         C
        P
 A           B
          A
     B           C
C
 A     B            D
D        C
A                      B
A
P
       G
E       O     F
    B        H     Q  C
A
B        D      C
A
        E
        M
B      D    F          C
 A     D
 B      C
A
   F
 E
B      D  C

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