二次函数 二次函数这一章在初中数学中占有重要地位,同时也是高中数学学习的基础.作为初高中衔接的内容,二次函数在中考命题中一直是“重头戏”,根据对近几年中考试卷的分析,预计2010年中考中对二次函数的考查题型有低档的填空题、选择题,中高档的解答题,分值一般为9~15分,除考查定义、识图、性质、求解析式等常规题外,还会出现与二次函数有关的贴近生活实际的应用题,阅读理解题和探究题,二次函数与其他函数方程、不等式、几何知识的综合在压轴题中出现的可能性很大. 知识梳理: 练习: 1.抛物线的对称轴是( ) A. B. C. D. 2.要得到二次函数的图象,需将的图象( ). A.向左平移2个单位,再向下平移2个单位 B.向右平移2个单位,再向上平移2个单位 C.向左平移1个单位,再向上平移1个单位 D.向右平移1个单位,再向下平移1个单位 答案:1.A 2.D 最新考题 1.(2009年四川省内江市)抛物线的顶点坐标是( ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(-2,-3) 2.(2009年泸州)在平面直角坐标系中,将二次函数的图象向上平移2个单位,所得图象的解析式为 A. B. C. D. 答案:1.A 2.B 知识点2:二次函数的图形与性质 例1:如图1所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,图象经过点(-1,2)和(1,0)且与y轴交于负半轴. 第(1)问:给出四个结论:①a 0;②b 0;③c 0;④a+b+c=0,其中正确的结论的序号是 . 第(2)问:给出四个结论:①abc 0;②2a+b 0;③a+c=1;④a 1.其中正确的结论的序号是_______.例2:抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点,(1)求出m的值并画出这条抛物线;(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标;(3)x取什么值时,抛物线在x轴上方?(4)x取什么值时,y的值随x的增大而减小? 思路点拨:由已知点(0,3)代入y=-x2+(m-1)x+m即可求得m的值,即可知道二次函数解析式,并可画出图象,然后根据图象和二次函数性质可得(2)(3)(4). 解:(1)由题意将(0,3)代入解析式可得m=3, ∴ 抛物线为y=-x2+2x+3. 图象(图2): (2)令y=0,则-x2+2x+3=0,得x1=-1,x2=3; ∴ 抛物线与x轴的交点为(-1,0),(3,0). ∵ y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴ 抛物线顶点坐标为(1,4); (3)由图象可知:当-1 x 3时,抛物线在x轴上方; (4)由图象可知:当x 1时,y的值随x值的增大而减小. 练习: 1.如图,直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,下列关系不正确的是( ) A. B. C. D. 2.函数y =ax+1与y =ax2+bx+1(a≠0)的图象可能是( ) 答案:1.B 2.C 最新考题 1.(2009深圳)二次函数的图象如图所示,若点A(1,y1)、B(2,y2)是它图象上的两点,则y1与y2的大小关系是() A. B. C. D.不能确定 2.(2009北京)如图,C为⊙O直径AB上一动点,过点C的直线交⊙O于D、E两点,且∠ACD=45°,DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时,设AF=,DE=,下列中图象中,能表示与的函数关系式的图象大致是( ) 3.(2009年台州)已知二次函数的与的部分对应值如下表: … 0 1 3 … … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是( ) A.抛物线开口向上 B.抛物线与轴交于负半轴 C.当=4时,>0 D.方程的正根在3与4之间 答案:1.C 2.A 3.D 知识点3:二次函数的应用 例1:如图,从地面垂直向上抛出一小球,小球的高度 (单位:米)与小球运动时间(单位:秒)的函数关系式是 ,那么小球运动中的最大高度 . 随楼层数x(楼)的变化而变化(x=1,2,3,4,5,6,7,8);已知点(x,y)都在一个二次函数的图像上(如图6所示),则6楼房子的价格为 元/平方米. 思路点拨:观察函数图像得:图像关于对称, 当因为x=2到对称轴的距离 与x=6到对称轴的距离相等。 所以,当 练习: 1.出售某种文具盒,若每个获利元,一天可售出个,则当 元时,一天出售该种文具盒的总利润最大. 2.如图所示,有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位AB时,宽20cm,水位上升3m就达到警戒线CD,这时水面宽度为10cm. (1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式;(2)若洪水到来时,水位以每小时0.2m的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时才能到达拱桥桥顶? 答案:1. 3 ;2.解:(1)设所求抛物线解析式为y=ax2,设D(5,b),则B(10,b-3), ∴ y=; 最新考题 1.(2009年台湾)向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y公尺,且时间与高度关系为y=ax2(bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则再下列哪一个时间的高度是最高的?( ) A. 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒 2.(2009年河北)某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数(x>0),若该车某次的刹车距离为5 m,则开始刹车时的速度为( ) A.40 m/s B.20 m/s C.10 m/s D.5 m/s 答案:1. B 2. C 过关检测 一、选择题 1.抛物线y=-2(x-1)2-3与y轴的交点纵坐标为( ) (A)-3 (B)-4 (C)-5 (D)-1 2.将抛物线y=3x2向右平移两个单位,再向下平移4个单位,所得抛物线是( ) y=3(x+2)2+4 (B) y=3(x-2)2+4 (C) y=3(x-2)2-4 (D)y=3(x+2)2-4 3.抛物线y =x2,y =-3x2,y =x2的图象开口最大的是( ) (A) y =x2 (B)y =-3x2 (C)y =x2 (D)无法确定 4.二次函数y =x2-8x+c的最小值是0,那么c的值等于( ) (A)4 (B)8 (C)-4 (D)16 5.抛物线y=-2x2+4x+3的顶点坐标是( ) (A)(-1,-5) (B)(1,-5) (C)(-1,-4) (D) (-2,-7) 6.过点(1,0),B(3,0),C(-1,2)三点的抛物线的顶点坐标是( ) (A)(1,2) (B)(1,) (C) (-1,5) (D)(2,) 7. 若二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为( ) (A)a+c??? (B)a-c??? (C)-c??? (D)c 8. 在一定条件下,若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为,则当物体经过的路程是88米时,该物体所经过的时间为( ) (A)2秒 (B) 4秒 (C)6秒 (D) 8秒 9.如图2,已知:正方形ABCD边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点, 且AE=BF=CG=DH, 设小正方形EFGH的面积为,AE为,则关于的函数图象大致是( ) 图2 (A) (B) (C) (D) 10.抛物线y=ax2+bx+c的图角如图3,则下列结论:①abc 0;②a+b+c=2;③a ; ④b 1.其中正确的结论是( ) (A)①②?? (B)②③?? (C)②④?? (D)③④ 二、填空题 1.已知函数y=ax2+bx+c,当x=3时,函数的最大值为4,当x=0时,y=-14,则函数关系式____. 2.请写出一个开口向上,对称轴为直线x=2,且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式 . 3.函数的图象与轴的交点坐标是________. 4.抛物线y= ( x – 1)2 – 7的对称轴是直线 . 5.二次函数y=2x2-x-3的开口方向_____,对称轴_______,顶点坐标________. 6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标是(5,0),(-2,0),则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是_______. 7.用配方法把二次函数y=2x2+2x-5化成y=a(x-h)2+k的形式为___________. 8.抛物线y=(m-4)x2-2mx-m-6的顶点在x轴上,则m=______. 9.若函数y=a(x-h)2+k的图象经过原点,最小值为8,且形状与抛物线y=-2x2-2x+3相同,则此函数关系式______. 10.如图1,直角坐标系中一条抛物线经过网格点A、B、C,其中,B点坐标为,则该抛物线的
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