二次函数综合题
例1.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图象过点（－3，－2）.
求此二次函数的解析式；
设此二次函数的图象与x轴交于A，B两点，O为坐标原点，求线段OA，OB的长度之和.
解：1）∵  函数图象的顶点坐标为（－2，－3）
    ∴  设此二次函数的解析式为.
又∵  图象过点（－3，－2），
∴  ，
∴  a=1.
∴  此二次函数的解析式为.
设点A，B的横坐标分别为，，则，是方程的两根，
∴  +=－4，·=1， 
∴  ＜0，＜0，
∴  OA+OB=（+）=4.
例2：.如图，抛物线的对称轴是直线,它与、两点，与轴交于点.点的坐标分别是、.
? 求此抛物线对应的函数解析式；
 若点是抛物线上位于轴上方的一个动点，求△面积的最大值.
(1)【法一】设所求的函数解析式为
解得，
；
,它与轴交于，∴点的坐标为，　∴可设所求的函数解析式是　将点代入上式，解得，
；
,
∴可设所求的函数解析式为，将点、代入上式，得
，∴所求的函数解析式为；　　　
2）当点是抛物线的顶点时，△面积最大. 　　　　　　　　
1）知，当时，.∴顶点坐标是  　　　　　　　
面积的最大值为：.　　　　　　
已知点上的任意一点，记点到轴距离为，点与点的距离为.
⑴ 猜想的大小关系，并证明之；
 若直线交此抛物线于另一点(异于点).
为直径的圆与与轴
②??以为直径的圆与轴的交点为、，若，求直线对应.
解：（1）猜想：.　　
是上的任意一点，则，∴
＝，
，
（2）①以为直径的圆与轴相切. 　　　　　　　　　　
的中点，过点、、作轴的垂线，垂足分别为、、，
1）知，，∴　 
是梯形的中位线，∴MC=(PP’+QQ’)=(PF+QF)=PQ
为直径的圆与轴相切. 　　　　　　　　　　　　　
对应的函数式为，
在上，∴，∴
，消去得：（※）
、，则是方程（※）的两实根. 　　　　　　　　　　
切轴于点，与轴交点、满足
∴.
【法一】连结可以证得，∴
，∴　　　　　　　
，∴，解得
对应的函数式为：或
坐标为或，又点是线段的中点，
????? 坐标为时，，∴，即，∴
???? 坐标为时，，∴，即，∴ 
对应的函数式为：或　如图，直线交于点、，直线交双曲线于另一点，与轴、轴分别交于点、.且.直线轴于点.
⑴ 求、两点的坐标；
 求证：△∽△.
（1）解：由，　　　　　　　　　　　　
而点在第三象限，∴点的坐标是.　　　　　　
的坐标是，∵，∴　　　　
，∴，而点在第一象限，
的坐标是.　　　　　　　
2）由（1）可知，点的坐标是，可见点、关于坐标原点对称，
，　　　　　　
、的坐标分别是、，
，，∴，
，∴. 
和△中
∴△∽△.　　　　　　　
于，则,
∥,∴.　   　 
和△中
∴△∽△.　　　　　　　 
对应的函数式：
，解得  
中，分别令得，∴
的函数式为：，∴点坐标为
于，则点为的中点，∴
∽△.　　　　　　 　　　　　　　　　　　
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．
解：（1）解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x－2)，
∴－2=a×1×(－2)，∴a=1，∴y=x2－x－2；
其顶点M的坐标是()．
（2）设线段BM所在直线的解析式为y=kx+b，点N的坐标为N(t,  h),  ∴解得：k=，b=－3，∴线段BM所在的直线的解析式为y=x－3．∴h=t－3，∵－2 h 0，∴－2 t－3 0，即 t 2
∴S=S△AOC+S梯形OCNQ=×1×2+（2+∣∣）t=．
∴s与t间的函数关系式为s=．自变量t的取值范围为 t 2．
(3)存在符合条件的点P，且坐标是P1（），P2（）．
设点P的坐标为P(m,  n)，则n=m2－m－2．PA2=(m+1)2+n2,  PC2=m2+(n+2)2,  AC2=5．
分以下几种情况讨论：若∠PAC=90°，则PC2=PA2+AC2． ∴解得：m1=,  m2=－1（舍去）∴P1()．
若∠PCA=90°，则PA2=PC2+AC2． ∴解得：m3=,  m4=0（舍去）∴P2()
由图像观察得，当点P在对称轴右侧时，PA AC，所以边AC的对角∠APC不可能为直角．
（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边OA（或边OC）的对边上，如图2，此时未知顶点坐标是点D（－1，－2），以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图3，此时未知顶点坐标是E（－）
F（）．易证△AEO∽△OFC,∴,又AC=,  设OE=a,  则OF=－a,  AE=,由勾股定理得：()2+a2=1,∴a=．∴OE=,再设点E的坐标为(x,  y),由射影定理得:x=－,  y=,∴此时未知顶点坐标是E（－）；同理可求得点F的坐标为（）． 
例6：．已知：如图10，在平面直角坐标系中，半径为的⊙O’与y轴交于A、B两点，与直线OC相切于点C，∠BOC=45°，BC⊥OC，垂足为C.
（1）判断△ABC的形状；
（2）在弧BC上取一点，连结DA、DB、DC，DA交BC于点E.
求证：BD·CD=AD·ED；
（3）延长BC交x轴于点G，求经过O、C、G三点的二次函数的解析式.
例7：本题满分12分）先阅读下面一段材料，再完成后面的问题：
材料：过抛物线y=ax2（a 0）的的对称轴上一点（0,）作对称轴的垂线l，则抛物线上任意一点P到点F（0, ）的距离与P到l的距离一定相等，我们将点F与直线l分别称作这抛物线的焦点和准线，如y=x2的焦点为（0,）。
问题：若直线y=kx+b交抛物线y=x2 于A、B、AC、BD垂直于抛物线的准线l，垂直足分别为C、D（如图）. 
①求抛物线y=x2的焦点F的坐标；
②求证：直线AB过焦点时，CF⊥DF；
③当直线AB过点（-1,0），且以线段AB为直径的圆与准线l相切时，求这条直线对应的函数解析式。
例8：27、已知抛物线与轴有两个交点。
    （1）求的取值范围；
（2）设抛物线与轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，点D是抛物线的顶点，如果△ABD是等腰直角三角形，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线与轴交于点C，点E在轴的正半轴上，且以A、O、E为顶点的三角形和以B、O、C为顶点的三角形相似，求点E的坐标。
1
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Q
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·
y
图9
－3
－2
－1
O
1
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2
3
4
5
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·
·
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·
1
2
3
－1
－2
A
B
M
C
N
x
·
A
D
C
O
图2
图3
A
C
F
O
E

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