2010年全国各地数学中考试题分类汇编16 
二次函数的图象和性质2
一、选择题
1．（2010福建福州）已知二次函数yAx2＋Bx＋C的图象如图所示，则下列结论正确的是
  A．0    B．0      C．2－4ac＜0   D．0
(第10题)的对称轴为，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为
A．（2，3）     		B．（3，2）    
C．（3，3）    		D．（4，3）
【答案】D 
3．（2010 山东莱芜）二次函数的图象如图所示，则一次函数的
图象不经过
A．第一象限		B．第二象限
	C．第三象限		D．第四象限
【答案】D 
4．（2010年贵州毕节）函数在同一直角坐标系内的图象大致是(     ) 
【答案】y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x－3x＋5，则（ 　　）
A．b=3，c=7　　　　　B．b=6，c=3        C．b=9，c=5　　　D．b=9，c=21
【答案】
A．ab＜0    	     B．ac＜0		     C．当x＜2时，函数值随x的增大而增大；当x＞2时，函数值随x的增大而减小        	     D．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根。
【答案】的图象与轴的交点如图所示，根据图中信息可得到的值是              ．
【答案】4
8．（2010 四川成都）把抛物线向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（     ）
（A）                         （B）
（C）                         （D）
【答案】D 
9．（2010山东潍坊）已知函数y1＝x2与函数y2＝－x＋3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（     ）．
A．－＜x＜2 			B．x＞2或x＜－ 
C．－2＜x＜ 			D． x＜－2或x＞
【答案】C 
10．（2010湖北荆州）若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E（x，）可以由E（x，）怎样平移得到？
  A．向上平移１个单位              　B．向下平移１个单位
C．向左平移１个单位                D．向右平移１个单位
【答案】D
二、填空题
1．（2010 湖南株洲）已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当，，，时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是                  .
【答案】
2．（2010湖南郴州）将抛物线y=x2 +1向y=x2 －1
三、解答题
1．（2010江苏泰州）如图，二次函数的图象经过点D，与x轴交于A、B两点．
⑴求的值；
⑵如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；
⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）
【答案】D()
∴
∴c=6.
⑵过点D、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M，
　∵AC 将四边形ABCD的面积二等分，即：S△ABC=S△ADC   ∴DE=BF  
又∵∠DE=∠BMF， ∠DE=∠BFE
∴△DEM≌△BFM
∴DM=BM    即AC平分BD 
∵c=6.  ∵抛物线为
∴A（）、B（）
∵M是BD的中点   ∴M（）
设AC的解析式为y=kx+b，经过A、M点
解得
直线AC的解析式为.
⑶存在．设抛物线顶点为N(0，6)，在Rt△AQN中，易得AN=，于是以A点为圆心，AB=为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP．
2．（2010福建福州）如图，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
    1）求证：；
    设EF，当为何值时，矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值；
当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动)，设运动时间为秒，矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与的函数关系式．
【答案】解：（1）∵ 四边形EFPQ是矩形，∴ EF∥QP．
    ∴ △AEF∽△ABC．
    又∵ AD⊥BC， ∴ AH⊥EF．
    ∴ ＝
（2）由（1）得＝．  AH＝x．
     ∴ EQ＝HD＝AD－AH＝8－x，
∴ S矩形EFPQ＝EF·EQ＝x (8－x) ＝－ x＝－（x－5）2＋20．
∵ －＜0，  ∴ 当x＝5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20．
（3）如图1，由（2）得EF＝5，EQ＝4．
∴ ∠C＝45°，    ∴ △FPC是等腰直角三角形．
    ∴ PC＝FP＝EQ=4，QC＝QP＋PC＝9．
分三种情况讨论：
① 如图2．当0≤t＜4时，
    设EF、PF分别交AC于点M、N，则△MFN是等腰直角三角形．∴ FN＝MF＝t．
∴S＝S矩形EFPQ－SRt△MFN=20－t2＝－t220；
3，当4≤t 5时，则ME＝5－t，QC＝9－t．
∴ S＝S梯形EMCQ＝[（5－t）＋（9－t ）]×4＝－4t＋28；
③如图4，当5≤t≤9时，设EQ交AC于点K，则KQ=QC＝9－t．
    ∴ S＝S△KQC= (9t)2＝( t－9)2．
第21题图2               第21题图3              第21题图4
综上所述：S与t的函数关系式为：
S=
3．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线2x上，过点B作轴的垂线，垂足为A，OA5．若抛物线x2＋bx＋c过、A两点．
1）求该抛物线的解析式；
若A点关于直线y2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
如图2，在的条件下，1是以BC为直径的圆．过原点O作1的切线OP，P为切点(点P与点C不重合)．抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与1相切?若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．解1）把、A)分别代入x2＋bx＋c，
得
∴ 该抛物线的解析式为yx2－x．
（2）点C在该抛物线上．
  理由：过点C作CDx轴于点D，连结OC，设AC交OB于点E．
  点B在直线y2x上，   B(5，10)
  点A、C关于直线y2x对称，
  OB⊥AC，CE＝AE，BC⊥OC，OC＝OA＝5，BC＝BA＝10．
   又AB⊥x轴，由勾股定理得OB5．SRt△OAB＝AE·OB＝OA·AB，
   AE＝2，  AC＝4．
OBA十CAB＝90°，CAD＋∠CAB＝90°，    CAD＝∠OBA．
   ∠CDA＝∠OAB＝90°，    △CDA∽△OAB．
   ＝＝  ∴  CD＝4，AD＝8  ∴  C（3，4）     当x3时，y＝9－(－3)4．
点在抛物线yx2－x上．抛物线上存在点Q，使得以Q为直径的圆与O1相切．
     过点P作PFx轴于点F，连结OP，过点作H⊥x轴于点H
     ∴ CD∥O1H∥BA．  C(－3，4)，B(5，10)，
  O1是B的中点．由平行线分线段成比例定理得AHDH＝AD＝4，
  H＝OA－AH＝1．同理可得H＝7．点的坐标为(1，7)．
    BC⊥OC， 为O1的切线．
     又∵OP为⊙O1的切线，   OC＝OP＝O1C＝O1P＝5．
    四边形为正方形．   COP＝900．  F＝∠OCD．
     又PFD＝∠ODC＝90°，   △POF≌△OCD．
∴ OF＝CD，PF＝OD．  P(4，3)．
设直线P的解析式为(k≠0)．
把(1，7、P(4，3)分别代人，
  解得直线P的解析式为x＋．
若以PQ为直径的圆与相切，则点Q为直线P与抛物线的交点，可设点Q的坐标为(，n)，m＋，n＝m2－M
∴ －m＋＝m2－M．整理得m2＋3m－50＝0，
解得m＝
∴ 点Q的横坐标为或．
4．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=．设直线AC与直线x=4交于点E．
（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．
【答案】解：（1）点C的坐标．设抛物线的函数关系式为，
	则，解得
∴所求抛物线的函数关系式为…………①
设直线AC的函数关系式为则，解得．
∴直线AC的函数关系式为，∴点E的坐标为
把x=4代入①式，得，∴此抛物线过E点．
（2）（1）中抛物线与x轴的另一个交点为N（8，0），设M（x，y），过M作MG⊥x轴于G，则S△CMN=S△MNG
2010年全国各地数学中考试题分类汇编17 二次函数的图象和性质2(含答案).doc