2010年全国各地数学中考试题分类汇编17 
二次函数的图象和性质3
一、选择题
1．（2010湖北鄂州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①a、b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0，④当y=4时，x的取值只能为0．结论正确的个数有（  ） 个
A．1　　　Ｂ．2　　　Ｃ．3　　　Ｄ．4
【答案】C 
2．（2010湖北省咸宁已知抛物线（＜0）过A（，0）、O（0，0）、
B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是
A．＞   	B．  		C．＜    	D．不能确定
	将二次函数y＝x2－2x＋3，化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为（     ）
A．y＝(x＋1)2＋4			B．y＝(x－1)2＋4
C．y＝(x＋1)2＋2			D． y＝(x－1)2＋2
下列函数：①；②；③；④，其中的值随值增大而增大的函数有（         ）
A、4个
B、3个
C、2个
D、1个
【答案】B
A. 	6或－1				B. －6或1			C.	6		D. 	－1
【答案】D 
6．（2010黑龙江哈尔滨）在抛物线上的一个点是（    ）
	（A）（4，4）	（B）（1，－4）	（C）（2，0）	（D）．（0，4）
【答案】C 
7．（2010江苏徐州）平面直角坐标系中，若平移二次函数y(x-2009)(x-2010)+4的图象，使其与轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为
  A．向上平移4个单位    B．向下平移4个单位
  C．向左平移4个单位    D．向右平移4个单位
，将抛物线C平移得到抛物线若两条抛物线C、 关于直线对称，则下列平移方法中，正确的是
	A．将抛物线C向右平移个单位	B．将抛物线C向右平移3个单位
	C．将抛物线C向右平移5个单位	D．将抛物线C向右平移6个单位
【答案】C 
9．（2010 福建三明）抛物线的图象和x轴有交点，则k的取值范围是	（    ）
	A．	B．且C．	D．且
【答案】B 
10．（2010 山东东营） 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（    ）
【答案】B
二、填空题
1．（2010江苏扬州）y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，则b的值为__________．
【答案】4将y=2x2-12x-12变为y=a（x-m）2+n的形式，则m·n=          .
【答案】-90向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为____________．
	．【答案】
4．（2010江苏 镇江）已知实数的最大值为       .
【答案】4
5．6．7．8．9．10．
11．12．13．14．15．16．17．18．19．20
三、解答题
1．（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交与点C．
（1）求点C的坐标．
（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．
（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值．
（4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．
【答案】
（1）点C的坐标是（4，0）；
（2）设过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），将点A、B、C三点的坐标代入得：
解得，∴抛物线的解析式是：y= x2+x+2．
（3）设P、Q的运动时间为t秒，则BP=t，CQ=t．以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论．
①若CQ=PC，如图所示，则PC= CQ=BP=t．∴有2t=BC=，∴t=．
②若PQ=QC，如图所示，过点Q作DQ⊥BC交CB于点D，则有CD=PD．由△ABC∽△QDC，可得出PD=CD=，∴，解得t=．
③若PQ=PC，如图所示，过点P作PE⊥AC交AC于点E，则EC=QE=PC，∴t=（-t），解得t=．
（4）当CQ=PC时，由（3）知t=，∴点P的坐标是（2，1），∴直线OP的解析式是：y=x，因而有x =x2+x+2，即x2-2x-4=0，解得x=1±，∴直线OP与抛物线的交点坐标为（1+，）和（1-，）．
2．（2010湖北省咸宁已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0）（）．
（1）证明；
（2）若该函数图象的对称轴为直线，试求二次函数的最小值．
（1）证明：依题意，，是一元二次方程的两根．
根据一元二次方程根与系数的关系，得，．
∴，．      ∴．
（2）解：依题意，，∴．
由（1）得．
∴．
∴二次函数的最小值为．的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
【答案】解：（1）将B、C两点的坐标代入得    
解得：                                       
所以二次函数的表达式为： 
（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，），
PP交CO于E
若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．
连结PP 则PE⊥CO于E，
∴OE=EC=
∴=．
∴= 
解得=，=（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（，）…………………………8分
（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，
设P（x，），
易得，直线BC的解析式为
则Q点的坐标为（x，x－3）.
=  
当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的
面积．  
4．（2010北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上．
（1）求B点的坐标；
（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交与点E，延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边，在PD右侧做等等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）．
①	当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
②	若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点做x轴的垂线，与直线AB交与点F，延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）．若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．
解：（1）∵抛物线经过原点，
∴m2—3m+2=0.
解的m1=1，m2=2.
由题意知m≠1.
∴m=2，
∴抛物线的解析式为
∵点B（2，n）在抛物线，
n=4.
∴B点的坐标为（2，4）
（2）①设直线OB的解析式为y=k1x
求得直线OB的解析式y=2x
∵A点是抛物线与x轴的一个交点，
可求得A点的坐标为（10，0），
设P点的坐标为（a，0），则E点的坐标为（a，2a）．
根据题意做等腰直角三角形PCD，如图1. 
可求得点C的坐标为（3a，2a），
有C点在抛物线上，
得2a=－x（3a）2+x3a.
即a2— a=0
解得 a1=，a2=0（舍去）
∴OP=  
②依题意作等腰直角三角形QMN.
设直线AB的解析式y=k2x+b
由点A(10 ，0)，点B（2，4），求得直线AB的解析式为y=－x+5
当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：
第一种情况：CD与NQ在同一条直线上，如图2所示，
可证△DPQ为等腰直角三角形．此时QP、OP、AQ的长可依次表示为t 、4t、 2t个单位．
∴PQ = DP = 4t
∴t+4t+2t=10
∴t=
第二种情况：PC与MN在同一条直线上，如图3所示．可证△PQM为等腰直角三角形．
此时OP、AQ的长依次表示为t、2t个单位，
∴OQ = 10 － 2t
∵F点在直线AB上
∴FQ=t
∵MQ=2t
∴PQ=MQ=CQ=2t
∴t+2t+2t=10
∴t=2.
第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示，此时OP、AQ的长依次表示为t、2t个单位．
∴t+2t=10
∴t=
综上，符合题意的值分别为，2，．红河自治州二次函数的图像如图8所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位.
  （1）画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式.
  （2）求经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？
解：画图如图所示：
依题意得：
            =
            =
∴平移后图像的解析式为：
（2）
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