一、填空题
1．（2010江苏盐城）写出图象经过点(1，－1)的一个函数关系式    ▲    ．
【答案】y=-x或y=-或y=x2-2x答案不唯一过点（3，4）,点与点关于轴对称，过作⊙的切线交轴于点。
⑴ 求的值；
⑵ 如图，设⊙与轴正半轴交点为，点、是线段上的动点（与点不重合），连接并延长、交⊙于点、，直线交轴于点，若是以为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化，请说明理由。
【答案】
⑴ 
（2）试探索的大小怎样变化，请说明理由.
解：当、两点在上运动时（与点不重合），的值不变
过点作于，并延长交于，连接，
交于。
因为为等腰三角形， ，
所以平分
所以弧BN=弧CN，所以， 
所以 
所以=
即当、两点在上运动时（与点不重合），的值不变。
2．（2010安徽蚌埠）如图1、2是两个相似比为：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。
⑴ 在图3中，绕点旋转小直角三角形，使两直角边分别与交于点，如图4。
求证：；
⑵ 若在图3中，绕点旋转小直角三角形，使它的斜边和延长线分别与交于点，如图5，此时结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。
⑶ 如图，在正方形中，分别是边上的点，满足的周长等于正方形的周长的一半，分别与对角线交于，试问线段、、能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由。
【答案】⑴ 在图4中，由于，将绕点旋转，得， 
     、。连接 
在中有 
又垂直平分  
代换得 
 在图5中，由，将绕点旋转，得
    连接 
在中有 
又可证≌，得V
代换得 
(3)将绕点瞬时针旋转，得，且 
因为的周长等于正方形周长的一半，所以
  化简得从而可得≌，
  推出 
此时该问题就转化为图5中的问题了。由前面的结论知：
，再由勾股定理的逆定理知：
线段、、可构成直角三角形。 
3．（2010安徽省中中考）如图，已知△ABC∽△，相似比为（），且△ABC的三边长分别为、、（），△的三边长分别为、、。
⑴若，求证：；
⑵若，试给出符合条件的一对△ABC和△，使得、、和、、进都是正整数，并加以说明；
⑶若，，是否存在△ABC和△使得？请说明理由。
【答案】
4．（2010江苏盐城）（本题满分12分）已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点．
（1）求这个函数关系式；
（2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．
【答案】解：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点………(1分)
当a≠0时，△=1- 4a=0，a = ，此时，图象与x轴只有一个公共点．
∴函数的解析式为：y=x+1 或`y=x2+x+1……（3分）
   （2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x 
轴于点C．
∵是二次函数，由（1）知该函数关系式为：
y=x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点
坐标为A（0，1）………（4分）
∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B  ∴PB⊥AB  则∠PBC=∠BAO
  ∴Rt△PCB∽Rt△BOA
  ∴，故PC=2BC，……………………………………………………（5分）
设P点的坐标为(x，y)，∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，∴∠PBO是钝角，∴x -2
∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x)
∵点P在二次函数y=x2+x+1的图象上，∴-4-2x=x2+x+1…………………（6分）
解之得：x1=-2，x2=-10
∵x -2 ∴x=-10，∴P点的坐标为：(-10，16)…………………………………（7分）
（3）点M不在抛物线上……………………………………………（8分）
由（2）知：C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ 
∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE
∵CM⊥PB，QE⊥CE  PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB =
CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，故BE=，QE=
∴Q点的坐标为(-，)
可求得M点的坐标为(，)…………………………………………………（11分）
∵=≠
∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上……………………（12分）
(其它解法，仿此得分)
5．（2010辽宁市如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．
（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点AB，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；
（2）求出过AB，C三点的抛物线的表达式； 
（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段COOA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
    （4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．
 （1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC． 1分
∵AB，C三点与MN，H分别关于点O中心对称，
∴A（0，4）B（6，4）C（8，0）  3分
（写错一个点的坐标扣1分）
（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，
∵抛物线过点A（0，4）， 
∴．则抛物线关系式为．  4分
将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得
解得所求抛物线关系式为：．7分
（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． 8分
     ∴    
                 OA（AB+OC）AFAGOE·OFCE·OA
                   （ 0＜＜4） 10分
∵． ∴当时，S的取最小值．
又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． 2分
（4）当时，GB=GF，当时，BE=BG．14分
现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级平面图形的镶嵌中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．我们知道可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕4个正方形的内角.试想如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着       个正六边形的内角．
如果我们要用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的方案？
问题解决猜想1：是否可以用正方形、正八边形两种正多边形进行平面镶嵌？
我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌可以发现，关键．镶嵌平面，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．
在镶嵌平面，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据方程：
：，
我们可找到惟一一组方程的正整数解为  ．   
结论1：镶嵌，在一个顶点周围围绕1个正方形和2个正八边形的内角拼成一个周角，所以用正方形和正八边形组合可以进行平面镶嵌．
猜想2：是否可以用正三角形和正六边形两种正多边形进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
验证2：
结论2：．上面我们探究了用两种不同的正多边形镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．
请你仿照上面的方，探索出一个用三种不同的正多边形进行平面镶嵌的方案并．
猜想3：验证3：
结论3：   
【答案】
解：3个；                                               	1分验证2：．，     
可以找到两组适合方程的正整数解为和．分，
整理得：，
可以找到惟一.		8分
结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正
六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边
形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌. 
（说明：本题答案不惟一，符合要求即可.）		10分
7．（2010山东青岛）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB∠EDF = 90°，∠DF = 45°，AC = 8 cm，BC6 cm，EF9 cm．
△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB△ABC匀速移
2010年中考数学试题分类大全47_开放探究型问题.doc