★★31、（2010眉山）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△E是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在抛物线上，并说明理由；
（3）若M点是CD所在直线下方抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N设点M的横坐标为t，MN的长度为l求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．
解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为  
      ∴∴，
∴所求函数关系式为：         （2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴
∵四边形ABCD是菱形∴BC=CD=DA=AB=5   
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． 
当时，
当时，
∴点C和点D在所求抛物线上． 
（3）设直线CD对应的函数关系式为，则
解得：．
∴∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，∴N点的横坐标也为t．
则，  ， 
∴
∵， ∴当时，，此时点M的坐标为（，）． 
 解得，b =－1．
所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（－1，）．
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH + CH最小，即最小为
DH + CH = DH + HB = BD =． 而 ．
∴ △CDH的周长最小值为CD + DR + CH =．
设直线BD的解析式为y = k1x + b，则   解得 ，b1 = 3．
所以直线BD的解析式为y =x + 3．
由于BC = 2，CE = BC∕2 =，Rt△CEG∽△COB，
得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G（0，1.5）．
同理可求得直线EF的解析式为y =x +．
联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（，）．
（3）设K（t，），xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．
则 KN = yK－yN =－（t +）=．
所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t2－3t + 5 =－（t +）2 +．即当t =－时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）．
★★33、（2010南充）已知抛物线上有不同的两点E和F．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设ADm（m＞0），BCn，求n和m之间的函数关系式．
（3）∠PMQ的边过点F．
解：（1）抛物线．　∵　抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同，∴　点E和点F关于抛物线对称轴对称，则　，且k≠－2．∴　抛物线的解析式为．　　　　　　　　　　　　（2）抛物线∴　，AM＝BM＝．　　　　　　　　　　　　在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC＝∠DAM∠PMQ＝45°，在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°，在直线AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°∴　∠BCM＝∠AMD．故　△BCM∽△AMD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴，即　，．故n和m之间的函数关系式（m＞0）．　　　　　　　　　　∵　F在上， 　　 ∴　，　　化简得，，∴　k1＝1，k2＝3．　　　　　　　　， 　　则　　　解得，　∴　直线MF的解析式为．　　直线MF与x轴交点为（－2，0），与y轴交点为（0，1）．　　若MP过点F（－2，0），则n＝4－1＝3，m＝；　　若MQ过点F（－2，0），则m＝4－（－2）＝6，n＝．　　　　　②MF过M（2，2）和F1（－4，－8），设MF为， 　　则　　解得，　∴　直线MF的解析式为．　　直线MF与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，）．　　若MP过点F（－4，－8），则n＝4－（）＝，m＝；　　若MQ过点F（－4，－8），则m＝4－＝，n＝．　　　故当　　或时，∠PMQ的边过点F．
★★34、（2010南平）如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作□APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α（0° α 90°）.
（1）求证：∠EAP=∠EPA；
（2）□APCD是否为矩形？请说明理由；
（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）.猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论.
解：(1)证明：在ΔABC和ΔAEP中∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP
∴ ∠ACB=∠APE在ΔABC中，AB=BC∴∠ACB=∠BAC，∴ ∠EPA=∠EAP
答： APCD是矩形
∵四边形APCD是平行四边形∴ AC=2EA, PD=2EP
∵ 由（1）知 ∠EPA=∠EAP∴ EA=EP，则 AC=PD∴□APCD是矩形
答： EM=EN ∵EA=EP  ∴ ∠EPA=90°－ α
∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-(90°- α)=90°+ α
由（2）知∠CPB=90°,F是BC的中点，∴ FP=FB∴∠FPB=∠ABC=α
∴ ∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°- α+α=90°+α
∴ ∠EAM=∠EPN
∵ ∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN∴ ∠AEP=∠MEN 
∴∠AEP- ∠AEN=∠MEN-∠AEN 即 ∠MEA=∠NEP
∴ ΔEAM≌ΔEPN  ∴ EM=EN
 x2+bx+c经过C、D两点，求抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿y轴向上平移，设平移后所得抛物线与y轴交点为E，点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴.若存在，此时抛物线向上平移了几个单位？若不存在，请说明理由.
（提示：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=－，顶点坐标是（－，）
解：（1） A(-20) ，D(-2，3)
  (2)∵抛物线 x2+bx+c 经过C(10)，D(-2，3)
  代入，解得：b=,c=  
∴  所求抛物线解析式为： x2 － x+
答：存在
解法一： 设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x轴，
则平移后的解析式为： x2 － x++h =(x -1)2 + h
此时抛物线与轴交点E(0 +h)
当点M在直线y=x+2上，且满足直线EM∥x轴时
则点M的坐标为（）
又 ∵M在平移后的抛物线上，则有
 +h=(h--1)2+h解得： h= 或 h=
（?）当   h= 时，点E（0，2），点M的坐标为（0，2）此时，点E,M重合，不合题意舍去。
（ii）当 h=时，E（0，4）点M的坐标为（2，4）符合题意
综合（i）（ii）可知，抛物线向上平移个单位能使EM∥x轴。
解法二：当点M在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时，仅当M,E重合时，它们的纵坐标相等。EM不会与轴平行
当点M在抛物线的右侧时，设抛物线向上平移H个单位能使EMx轴则平移后的抛物线的解析式为y=x2++h =(x - 1)2 + h
∴ 抛物线与Y轴交点E(0+h)，∵抛物线的对称轴为：x=1
根据抛物线的对称性，可知点M的坐标为（2，+h)时，直线EM∥x轴
将（2，+h)代入y=x+2得，+h=2+2 解得：h=
∴ 抛物线向上平移个单位能使EM∥x轴x＞0）的式的式探求中得到的函数最大值，求出最大值x2；
②分两种情况：
Ⅰ.当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，
∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.
由于在Rt△NMG中，∠G＝60°，
所以，此时 y＝x2－（3x－6）2＝. 
Ⅱ.当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，
∵EC＝6－x,
∴y＝（6－x）2＝.
⑶当0＜x≤2时，∵y＝x2在x＞0时，y随x增大而增大，
∴x＝2时，y最大＝；
当2＜x＜3时，∵y＝，
在x＝时，y最大＝；
当3≤x≤6时，∵y＝，
在x＜6时，y随x增大而减小，
∴x＝3时，y最大＝.综上所述：当x＝时，y最大＝. 
★★37、（2010青岛）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．
如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s
2010年中考数学压轴题精选(四)及答案.doc