★★41、（2010深圳）如图10，以点M（－1,0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y＝－ x－ 与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．
   （1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（3分）
（2）如图11，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值；
（3）如图12，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解：，CH=2
（2）、如图5，连接QC、Q，，
易知，故，，，由于，
；
（3）、如图6，连接AK，AM，延长AM，
与圆交于点G，连接TG，则
，
由于，故，；
而，故
在和中，；
故；
;即：
故存在常数，始终满足，常数
★★42、（2010随州）某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v（米/秒）与时间t（秒）的关系如图a，A（10，5），B（130，5），C（135，0）.
　　（1）求该同学骑自行车上学途中的速度v与时间t的函数关系式；
（2）计算该同学从家到学校的路程（提示：在OA和BC段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度，路程＝平均速度×时间）；
（3）如图b，直线x＝t（0≤t≤135），与图a的图象相交于P、Q，用字母S表示图中阴影部分面积，试求S与t的函数关系式；
（4）由（2）（3），直接猜出在t时刻，该同学离开家所超过的路程与此时S的数量关系.
              图a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图b
解：（1）
（2）2.5×10+5×120+2×5＝635（米）
（3）
(4)　相等的关系；
★★43、（2010随州）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.
（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x＝1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.
解：（1）a＝－1，b＝2，c＝0
（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为.此时，MP＝MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形.
（3）不存在.因为当t＜，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞，x＞1时，PM与PN不可能相等。
★★44、（2010台州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8点P，Q都是斜边AB上的动点，P从B 向A运动，Q从A向B运动，BP=AQ点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥ABQ，交AC于点H当E到达顶点A时，P，Q同时停止运动BP的长为x，△HDE的面积为y求证△DHQ∽△ABC；求y关于x的函数解析式；
当x为何值时，△HDE为等腰三角形？HQ⊥AB，
∴=90°，HD=HA，∴， 
∴△DHQ∽△ABC．
（2）①如图1，当时， 
ED=，QH=，此时．
当时，最大值．
②如图2，当时，
ED=，QH=，此时．
当时，最大值．∴y与x之间的函数解析式为
y的最大值是． 
（3）①如图1，当时，
若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，
∴=，．
显然ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当时，
若DE=DH，=，；   
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，；  
若ED=EH，则△EDH∽△HDA，
∴，，．  
∴当x的值为时，△HDE是等腰三角形。
（其他解法相应给分）
★★45、（2010天津）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴的正半轴交于点，顶点为.
（Ⅰ）若，，求此时抛物线顶点的坐标；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE = S△ABC，求此时直线的解析式；
（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE = 2S△AOC，且顶点恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式.
解：（Ⅰ）当，时，抛物线的解析式为，即.
∴ 抛物线顶点的坐标为（1，4）．               ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点在对称轴上，有，
∴ 抛物线的解析式为（）．
∴ 此时，抛物线与轴的交点为，顶点为．
∵ 方程的两个根为，，
∴ 此时，抛物线与轴的交点为，．
如图，过点作EF∥CB与轴交于点，连接，则S△BCE = S△BCF．
∵ S△BCE = S△ABC，
∴ S△BCF = S△ABC．
∴ ．
设对称轴与轴交于点，
则．
由EF∥CB，得．
∴ Rt△EDF∽Rt△COB．有．
∴ ．结合题意，解得 ．
∴ 点，．
设直线的解析式为，则
  解得  
∴ 直线的解析式为.       
（Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为，（，）
则抛物线的解析式为，
此时，抛物线与轴的交点为，
与轴的交点为，.（）
过点作EF∥CB与轴交于点，连接，
则S△BCE = S△BCF.
由S△BCE = 2S△AOC，
∴ S△BCF = 2S△AOC. 得.
设该抛物线的对称轴与轴交于点.
则 .
于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有．
∴ ，即．
结合题意，解得 ．                         ①                                
∵ 点在直线上，有．  ②     
∴ 由①②，结合题意，解得．
有，．
∴ 抛物线的解析式为．    
★★46、（2010天津）在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、
轴的正半轴上，，，D为边OB的中点.
（Ⅰ）若为边上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；
（Ⅱ）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标.
解：（Ⅰ）如图，作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，连接.
若在边上任取点（与点E不重合），连接、、.
由，
可知△的周长最小.
∵ 在矩形中，，，为的中点，
∴ ，，.
∵ OE∥BC，
∴ Rt△∽Rt△，有.
∴ .
∴ 点的坐标为（1，0）.        
（Ⅱ）如图，作点关于轴的对称点，在边上截取，连接与轴交于点，在上截取.
∵ GC∥EF，，
∴ 四边形为平行四边形，有.
又 、的长为定值，
∴ 此时得到的点、使四边形的周长最小. 
∵ OE∥BC，
∴ Rt△∽Rt△, 有 .
∴ .
∴ .
∴ 点的坐标为（，0），点的坐标为（，0）
★★47、（2010湘潭）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作⊙C，抛物线过A、C、OOA·OD，求证：DB是⊙C的切线；
抛物线上是否存在一点P，	使以P、、、
解：（1）A（6，0），B（0，6）            
连结OC,由于∠AOB=90o，C为AB的中点，则，
所以点O在⊙C上（没有说明不扣分）．
过C点作CE⊥OA，垂足为E，则E为OA中点,故点C的横坐标为3．
又点C在直线y=－x+6上，故C（3，3）    
抛物线过点O，所以c=0,
又抛物线过点A、C，所以，解得： 
所以抛物线解析式为   　 　
（2）OA=OB=6代入OB2=OA·OD，得OD=6   　 
   所以OD=OB=OA，∠DBAC的切线     　
（通过证相似三角形得出亦可）
（3）假设存在点P满足题意．因C为AB中点,O在圆上,故∠OCA=90o,
要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，
则 ∠CAP=90o或 ∠COP=90o,              
若∠CAP=90o,则OC∥AP，因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b．
又AP过点A（6，0），则b=－6,           
方程y=x－6与联立解得：，，   
 故点P1坐标为（－3，－9）                   
     若∠COP=90o,则OP∥AC，同理可求得点P2（9，－9）
      (用抛物线的对称性求出亦可)
     故存在点P1坐标为（－3，－9）和P2（9，－9）满足题意． 
如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（2，0），直线与二次函数的图像交于A、B两点，其中点A在y轴上．
（1）二次函数的解析式为  ☆  ；（2）证明点不在（1）中所求的二次函数的图像上； 
（3）若C为线段AB的中点，过C点作轴于E点, CE与二次函数的图像交于点．
   ①轴上存在点K, 使以、、为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标是  ☆  ； 
②二次函数的图像上是否存在点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：（或）．         
（2）证明：设点在二次函数的图象上，则有：
．   整理得，∵．∴原方程无解．  ∴点不在二次函数的图象上． 
（3）①K(0，5)或(0－3)；
②二次函数的图象上存在点P,使得．
过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，∴OE=EF．
由和可求
2010年中考数学压轴题精选(五)及答案.doc