2010年中考数学试题分类汇编 压轴题(一)
24．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；
（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.
【分析】OA，OP与AB的交点为F，△OAF为直角三角形，且OA＝1，OF＝，借助勾股定理可求得AF的长；
（2）要判断∠ACB是否为定值∠DAE＋∠DBA是定值，那么CAB＋∠ABC就是定值，而∠DAE＋∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；
（3）由题可知DE (AB＋AC＋BC)，又因为，所以，所以，由于DH＝DG＝DE，所以在Rt△CDH中，CH＝DH＝DE，同理可得CG＝DE，又由于AG＝AE，BE＝BH，所以AB＋AC＋BC＝CG＋CH＋AG＋AB＋BH＝DE＋，可得＝DE＋，解得：DE＝，代入AB＋AC＋BC＝，即可求得周长为．
【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1
∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF
在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝
（2）∠ACB是定值.
由（1）易知，∠AOB＝120°因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，因为∠DAE∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；
（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.
＝AB?DE＋BC?DH＋AC?DG＝(ABBC＋AC) ?DE＝l?DE
∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.
∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，
∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE
又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，∴l＝ABBC＋AC＝22DE＝8DE，解得DE＝，
∴△ABC的周长为  	【涉及知识点】
【点评】25．2010广东广州，2，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E
（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.
【分析】点纵坐标），代入三角形面积公式即可； 
（2）
【答案】（1）由题意得B（3，1）．
若直线经过点A（3，0）时，则b＝
若直线经过点B（3，1）时，则b＝
若直线经过点C（0，1）时，则b＝1
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b，如图25-a，
   此时E（2b，0）
∴S＝OE·CO＝2b×1＝b
②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图
此时E（3，），D（2b2，1）
∴S＝S矩S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )
＝ 3[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝
∴
（2）如图，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。
本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知，∠MED＝∠NED
又∠MDE＝∠NED∴∠MED＝∠MDE∴MD＝ME∴平行四边形DNEM为菱形
过点D作DH⊥OA，垂足为H
由题易知，tan∠DEN＝，DH＝1∴HE＝2，
设菱形DNEM 的边长为a，
则在Rt△DHM中，由勾股定理知，∴
∴S四边形DNEM＝NEDH＝
∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为
  	【涉及知识点】
【点评】
26、如图1、在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，），点B在轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线与轴交于点F，与射线DC交于点G。
的度数;
（2）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△，记直线与射线DC的交点为H。
①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE;
②若△EHG的面积为，请直接写出点F的坐标。
解：（1）
       （2）（2，）
       （3）①略
            ②过点E作EM⊥直线CD于点M
∵CD∥AB
∴
∴
∵
∴
∵△DHE∽△DEG
∴即
当点H在点G的右侧时，设，
∴
解：
∴点F的坐标为（，0）
当点H在点Ｇ的左侧时，设，
∴
解：，（舍）
∵△ＤＥＧ≌△ＡＥＦ
∴
∵
∴点Ｆ的坐标为（，0）
综上可知，点Ｆ的坐标有两个，分别是（，0），（，0）
26．(重庆市)已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.
（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；
（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；
（3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．
解：（1）过点作于点（如图①），       ∴．
      ∵，， ∴．
   在中，．	分 （ⅰ）当时，,；
过点作于点（如图①）
     在中，∵∴，
∴．
  即 ．	分
   （ⅱ）当时，（如图②），．
∵，，∴
∴．．
故当时，当时，．	分
（2）或或或．	分
（3）的周长不发生变化．
延长至点，使连结．如图）
∵
∴≌．
∴，分
        ∴．
        ∴．
又∵．
   ∴≌．∴．	（11分∴．
∴的周长不变，其周长为．	分－，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）对称轴：直线……………………………………………………..… 1分
解析式：或……………………………….2分
                  顶点坐标：M（1，）……….…………………………………………..3分
            （2）由题意得        
3……………………………………..1分
得：①…………….………………….……2分
得：  ②….………………………………………..………..3分
把②代入①并整理得：(S＞0) (事实上，更确切为S＞6)4分
当时， 解得：(注：S＞0或S＞6不写不扣 
分)  把代入抛物线解析式得       ∴点A1（6，3）………5分
（3）存在………………………………………………………………….…..……1分
           解法一：易知直线AB的解析式为，可得直线AB与对称轴的
交点E的坐标为
∴BD=5，DE=，DP=5－t，DQ= t
     当∥时，
                得 ………2分
    下面分两种情况讨论: 设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G
①当时，如图1-1        ∵△FQE∽△FAG  ∴∠FGA＝∠FEQ
               ∴∠DPQ＝∠DEB   易得△DPQ∽△DEB  ∴
∴   得   ∴(舍去)…………………………3分
当时，如图1-2
∵△FQE∽△FAG  ∴∠FAG＝∠FQE
                ∵∠DQP＝∠FQE    ∠FAG＝∠EBD
∴∠DQP＝∠DBE   易得△DPQ∽△DEB 
       ∴
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