2010年中考数学试题分类汇编 压轴题(四)
23．(安徽省)如图，已知，相似比为k（k 1），且的三边长分别为a、b、c（a b c），的三边长分别为、、.
（1）若c=a1，求证：a=kc；
（2）若c=a1，试给出符合条件的一对，使得a、b、c和、、都是正整数，并加以说明；
（3）若b=a1，c=b1，是否存在使得k=2？请说明理由.
解:（1）证：，且相似比为
又 （3分）
（2）解：取 （8分）
此时且 （10分）
注：本题也是开放型的，只要给出的和符合要求就相应赋分.
（3）解：不存在这样的和.理由如下：
若则
又，
（12分）
，而
故不存在这样的和，使得 （14分）
注：本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理，只要能说明在题设要求下的情况不可能即可.
24．（芜湖市 本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－3，1）、C（－3，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－，1）、F（－，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．
（1）求折痕所在直线EF的解析式；
（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；
（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．
解：
（2）设矩形沿直线向右下方翻折后，、的对应点为.
，
.
.
[此时需说明]. 6分
设二次函数解析式为：
抛物线经过、、.
得到解得
. 9分
（3）能，可以在直线上找到点，连接.
由于、在一条直线上，故的和最小，
由于为定长，所以满足周长最小. 10分
设直线的解析式为：
. 12分
. 14分
[注：对于以上各大题的不同解法，解答正确可参照评分！]
26.( 重庆市綦江县2+bx+c(a＞0)的图象经过点B(12,0)和C(0，-6）(2)点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在请说明理由.
解：方法一：∵抛物线过C(0,-6)
∴c=－6, 即y=ax2+bx－6
由 解得：a= ,b=－
∴该抛物线的解析式为y=x2－x－6
方法二：∵A、B关于x=2对称
∴A（－8，0） 设y=a(x＋8)(x－12)
C在抛物线上 ∴－6=a×8×(－12) 即a=
∴该抛物线的解析式为：y=x2－x－6 --------3分
（2）存在，设直线CD垂直平分PQ,
在Rt△AOC中，AC==10=AD
∴点D在对称轴上，连结DQ 显然∠PDC=∠QDC，-----------4分
由已知∠PDC=∠ACD
∴∠QDC=∠ACD ∴DQ∥AC
DB=AB－AD=20-10=10
∴DQ为△ABC的中位线 ∴DQ=AC=5
AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5
∴t=5÷1=5(秒)
∴存在t=5(秒)时，线段PQ被直线CD垂直平分-----------7分
在Rt△BOC中, BC==6 ∴CQ=3
∴点Q的运动速度为每秒单位长度.
（3）存在 过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=3，PH=9
在Rt△PQH中，PQ==3
①当MP=MQ，即M为顶点，
设直线CD的直线方程为：y=kx+b(k≠0),则：
解得：
∴y=3x-6
当x=1时，y=－3 ∴M1(1, －3)
②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点.
设直线x=1上存在点M(1,y) ,由勾股定理得：
42+y2=90 即y=±
∴M2（1，） M3（1，－）
③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点.
过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x=1于F，则F(1, －3)
设直线x=1存在点M(1,y), 由勾股定理得：
(y＋3)2+52=90 即y=－3±
∴M4(1, －3＋) M5((1, －3－)
综上所述：存在这样的五点：
M1(1, －3), M2（1，）, M3（1，－）, M4(1, －3＋),
M5((1, －3－).
25．（山东省滨州市 本题满分l0分）
如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线恰好经过轴上A、两点．
（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求过A、B、三点的抛物线的解析式；（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位?
解：①由抛物线的对称性可知AM=在RtAOD和Rt△中，=MC，AD=BC，AOD≌△BMC．=MB=MA．………………………………………l分设菱形的边长为2m，在RtAOD中，
解得m=1．http://max.book118.com.cn
∴DC=2，OA=1，OB=3．A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，）………………… 4分②设抛物线的解析式为y=（2）2+代入A点坐标可得=
抛物线的解析式为y=（—2）2+……………………………………7分③设抛物线的解析式为y=（一2）2+代入D（0，可得=5
所以平移后的抛物线的解析式为=—（一2）2+5…………………………9分平移了5一=4个单位．…………………………………………………l0分山东省烟台市（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）把A（1，0），B（0，－3）代入y=x2+bx－3a中，得
1+b－3a=0
－3a=－3
a=1
解得
b=2
∴抛物线的解析式为
y=x2+2x－3………………………………………4分
（2）令y=0，得x2+2x－3=0，
解得x1=－3，x2=1
∴点C（－3，0）……………………………………………………5分∵B（0，－3）
∴△BOC为等腰直角三角形.
∴∠CBO=45°……………………………………………………6分过点P作PD⊥y轴，垂足为D，
∵PB⊥BC，∴∠PBD=45°∴PD=BD……………………………8分
所以可设点P（x，－3+x）
则有－3+x=x2+2x－3，∴x=－1，所以P点坐标为（－1，－4）………………………10分
（3）由（2）知，BC⊥BP
当BP为直角梯形一底时，由图象可知点Q不可能在抛物线上.
若BC为直角梯形一底，BP为直角梯形腰时，
∵B（0，－3），C（－3，0），
∴直线BC的解析式为y=－x－3…………………………11分
∵直线PQ∥BC，且P（－1，－4），
∴直线PQ的解析式为y=－（x+1）－3－1
即y=－x－5…………………………………………………12分
y=－x－5
联立方程组得
y=x2+2x－3
解得x1=－1，x2=－2…………………………………………………………………………13分
∴x=－2，y=－3，即点Q（－2，－3）
∴符合条件的点Q的坐标为（－2，－3）………………………………………………14分
28．(四川省成都市中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线．
（1）求直线及抛物线的函数表达式；
（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；
（3）设的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？
解：（1）∵沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，
∴，。
将 代入，得。解得。
∴直线AC的函数表达式为。
∵抛物线的对称轴是直线
∴解得
∴抛物线的函数表达式为。
（2）如图，过点B作BD⊥AC于点D。
∵，
∴
∴。
过点P作PE⊥x轴于点E，
∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO，
∴，
∴
∴，解得
∴点P的坐标为
（3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况。
设点Q的坐标为。
当⊙Q与y轴相切时，有，即。
当时，得，∴
当时，得，∴
当⊙Q与x轴相切时，有，即
当时，得
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