2010年中考数学试题分类汇编 压轴题(五)
28.（江苏省苏州市 本题满分9分）刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②.图①中，图②中，
图③是刘卫同学所做的一个实验：他将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动.在移动过程中，两点始终在边上（移动开始时点与点重合）.
（1）在沿方向移动的过程中，刘卫同学发现：两点间的距离逐渐_________.（填“不变”、“变大”或“变小”）
（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：
问题①：当移动至什么位置，即的长为多少时，的连线与平行？
问题②：当移动至什么位置，即的长为多少时，以线段的长度为三边长的三角形是直角三角形？
问题③：在的移动过程中，是否存在某个位置，使得如果存在，求出的长度；如果不存在，请说明理由.
请你分别完成上述三个问题的解答过程.
答案:
（1）变小.
（2）问题①：
解：∵
∴
∵
∴
连结设
∴
∴在中，
∴
即时，
问题②：
解：设在中，
（Ⅰ）当为斜边时，
由得，
（Ⅱ）当为斜边时，
由得，（不符合题意，舍去）.
（Ⅲ）当为斜边时，
由得，
∴方程无解.
另解：不能为斜边.
∵∴
∴中至少有一条线段的长度大于6.
∴不能为斜边.
∴由（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）得，当时，经线段的长度为三边长的三角形是直角三角形.
问题③：
解法一：不存在这样的位置，使得
理由如下：
假设
由得
作的平分线，交于点，
则
∴
∴
∴
∴不存在这样的位置，使得
解法二：不存在这样的位置，使得
假设
由得
作垂足为
∴
且
∵为
∴
又
∴
即
整理后，得到方程
∴（不符合题意，舍去），
  （不符合题意，舍去）.
∴不存在这样的位置，使得
29.（江苏省苏州市 本题满分9分）如图，以为顶点的抛物线与轴交于点已知两点的坐标分
别为
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）设是抛物线上的一点（为正整数），且它位于对称轴的右侧.若以为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点的坐标；
  （3）在（2）的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点是否总成立？请说明理由.
解：（1）设
把代入，得
∴
（2）解法一：∵四边形的四边长是四个连续的正整数，
∴可能的情况有三种：1、2、3、4；2、3、4、5； 3、4、5、6.
∵点位于对称轴右侧，且为正整数，
∴是大于或等于4的正整数，
∴
∵
∴只有两种可能：∴或
当时，（不是整数，舍去）；
当时，（不是整数，舍去）；
当时，
当时，
因此，只有一种可能，即当点的坐标为时，
四边形的四条边长分别为3、4、5、6.
解法二：∵为正整数，
∴应该是9的倍数.
∴是3的倍数.
又∵
∴
当时，此时，
∴四边形的四边长为3、4、5、6.
当时，
∴四边形的四边长不能是四个连续的正整数.
∴点的坐标只有一种可能
（3）设与对称轴交点为
则
∴
∴当时，有最小值
∴总是成立.
23．（潍坊市 本题满分11分）如图，已知正方形在直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，点在坐标原点.等腰直角三角板的直角顶点在原点，分别在上，且将三角板绕点逆时针旋转至的位置，连结
（1）求证：
（2）若三角板绕点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：
（1）证明：∵四边形为正方形，∴
∵三角板是等腰直角三角形，∴
又三角板绕点逆时针旋转至的位置时，
∴  3分
（2）存在.  4分
∵
∴过点与平行的直线有且只有一条，并与垂直，
又当三角板绕点逆时针旋转一周时，则点在以为圆心，以为半径的圆上，	5分
∴过点与垂直的直线必是圆的切线，又点是圆外一点，过点与圆相切的直线有且只有2条，不妨设为和
此时，点分别在点和点，满足
	7分
当切点在第二象限时，点在第一象限，
在直角三角形中，
∴∴
∴点的横坐标为：
点的纵坐标为：
∴点的坐标为	9分
当切点在第一象限时，点在第四象限，
同理可求：点的坐标为
综上所述，三角板绕点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得此时点的坐标为或	11分
24．（潍坊市 本题满分12分）如图所示，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点以为直径作过抛物线上一点作的切线切点为并与的切线相交于点连结并延长交于点连结
（1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；
（2）若四边形的面积为求直线的函数关系式；
（3）抛物线上是否存在点，使得四边形的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 
解：（1）因为抛物线与轴交于点两点，设抛物线的函数关系式为：
∵抛物线与轴交于点
∴
∴
所以，抛物线的函数关系式为：	2分
又
因此，抛物线的顶点坐标为	3分
（2）连结∵是的两条切线，
∴∴
又四边形的面积为∴∴
又∴
因此，点的坐标为或	5分
当点在第二象限时，切点在第一象限.
在直角三角形中，
∴∴
过切点作垂足为点
∴
因此，切点的坐标为	6分
设直线的函数关系式为将的坐标代入得
解之，得
所以，直线的函数关系式为	7分
当点在第三象限时，切点在第四象限.
同理可求：切点的坐标为直线的函数关系式为
因此，直线的函数关系式为
或	8分
（3）若四边形的面积等于的面积
又
∴
∴两点到轴的距离相等，
∵与相切，∴点与点在轴同侧，
∴切线与轴平行，
此时切线的函数关系式为或
	9分
当时，由得，
当时，由得，	11分
故满足条件的点的位置有4个，分别是
    12分
说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.
28．(大兴安岭地区 本小题满分10分) ．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x＋12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．△ABP△AOB
（1）求直线AM的解析式；
（2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP＝S△AOB ，请直接写出点P的坐标；
（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）函数的解析式为y＝2x＋12       
∴A(－6,0)，B(0,12) ………………1分
∵点M为线段OB的中点       ∴M(0,6)  ……………………………1分
设直线AM的解析式为：y＝kx＋b  
∵  ………………………………………………2分
∴k＝1    b＝6     ………………………………………………………1分
∴直线AM的解析式为：y＝x＋6  ………………………………………1分
（2）P1(－18，－12)，P2(6，12)  ………………………………………………2分
（3）H1(－6，18)，H2(－12，0)，H3(－，)………………………………3分
23.( 达州市 9分)如图13，对称轴为的抛物线与轴相交于点、.
(1）求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标；
(2)连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得max.book118.com、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为，当0＜S≤18时，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当取最大值时，抛物线上是否存在点，使△OP为直角三角形且OP为直角边.若存在,直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.
解：（1）∵点B与O（0，0）关于x=3对称,
∴点B坐标为（6，0）.
将点B坐标代入得：
36+12=0,
∴=.
∴抛物线解析式为.…………………………2分
当=3时，,
∴顶点A坐标为（3，3）. …………………………3分
（说明：可用对称轴为,求值,用顶点式求顶点A坐标.）
（2）设直线AB解析式为y=kx+b.
∵A(3,3),B(6,0),
∴   解得,   ∴.
∵直线∥AB且过点O,
∴直线解析式为.
∵点是上一动点且横坐标为,
∴点坐标为（）.…………………………4分
当在第四象限时（t＞0），
=12×6×3+×6×=9+3.
∵0＜S≤18,
∴0＜9+3≤18,
∴-3＜≤3.
又＞0,
∴0＜≤3.5分
当在第二象限时（＜0）,
作PM⊥轴于M，设对称轴与轴交点为N. 则
=-3+9.
∵0＜S≤18,
∴0＜-3+9≤18,
∴-3≤＜3.
又＜0,
∴-3≤＜0.6分
∴t的取值范围是-3≤＜0或0＜≤3.
(3)存在，点坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）.9分
25．（福建省泉州市12分）我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你 
可以利用这一结论解决问题.
如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将轴所在的直线绕着原点逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点、，已知点、.
（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形的形状一定是           ; 
（2）①当点为时，四边形是矩形，试求、α、和有
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