2010年中考数学试题分类汇编 压轴题(六)
24、（茂名市本题满分8分）如图，在直角坐标系O中，正方形OCBA的顶点A、C分别在轴、轴上，点B坐标为（6，6），抛物线经过点A、B两点，且．
（1）求，，的值；       （3分）  
（2）如果动点E、F同时分别从点A、点B出发，分别沿A→B、B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E、F随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为S．
①试求出S与之间的函数关系式，并求出S的最大值；              （2分）  
②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3分）  
解：（1）由已知A（0，6）、B（6，6）在抛物线上，
得方程组：                    ······1分       解得：       ·············3分
（2）①运动开始秒时，EB＝，BF＝，
S＝，··········4分
因为，
所以当时，S有最大值．··················5分
②当S取得最大值时，由①知，所以BF＝3，CF＝3，EB＝6-3＝3．
若存在某点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形，
则，即可得R1为（9，3）、（3，3）；··················6分
或者，可得R2为（3，9）．·························7分
再将所求得的三个点代入，可知只有点（9，3）在抛物线上，因此抛物线上存在点R1（9，3），使得四边形EBRF为平行四边形．············8分
25、（茂名市本题满分8分）已知⊙O1的半径为R，周长为C．
（1）在⊙O1内任意作三条弦，其长分别是、、．求证：++  C；  （3分）
（2）如图，在直角坐标系O中，设⊙O1的圆心为O1．
①当直线：与⊙O1相切时，求的值；（2分）
②当反比例函数的图象与⊙O1有两个交点时，
求的取值范围．                                 （3分）
解：
（1）证明：，，．++，2分
因此，++  C．··········································3分
（2）解：①如图，根据题意可知⊙O1与与轴、轴分别相切，设直线与⊙O1相切于点M，则O1M⊥l，过点O1作直线NH⊥轴，与交于点N，与轴交于点H，又∵直线与轴、轴分别交于点E（，0）、F（0，），∴OE＝OF＝，∴∠NEO＝45o，∴∠ENO1＝45o，在Rt△O1MN中，O1N＝O1Msin45o＝，
∴点N的坐标为N（R，），················4分
把点N坐标代入得：，解得：，··········5分
②如图，设经过点O、O1的直线交⊙O1于点A、D，则由已知，直线OO1：是圆与反比例函数图象的对称轴，当反比例函数的图象与⊙O1直径AD相交时（点A、D除外），则反比例函数的图象与⊙O1有两个交点．
过点A作AB⊥轴交轴于点B，过O1作O1C⊥轴于点C，OO1＝O1Csin45o＝，OA＝，所以OB＝AB＝sin45o＝，
因此点A的坐标是A，将点A的坐标 代入，解得：．·····································6分
同理可求得点D的坐标为D，
将点D的坐标代入，解得： ······7分
所以当反比例函数的图象与⊙O1有两个交点时，的取值范围是：······················· 8分
25．（本题20分）如图，已知抛物线经过点和，
（1）求出抛物线的解析式；
（2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；
（3）点P(m，m) 与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得QMA的周长最小.
			即			……2分
							……4分
		∴抛物线的解析式为：……5分
	   （2）把配方得，
		 ∴对称轴方程为						……7分
			顶点坐标						……10分
	   （3）由点在抛物线上
		有						……12分
		即
		∴	或（舍去）				……13分
		∴
		∵点、均在抛物线上，且关于对称轴对称
		∴								……15分
	   （4）连接，直线与对称轴相交于点
		由于两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点，能够使			得△的周长最小.					……17分
		设直线的解析式
		∴有		∴
		∴直线的解析式为：			……18分
		设点
		则有						……19分
		此时点能够使得△的周长最小.	……20分
26．（湘潭市与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作⊙C，抛物线过A、C、OOA·OD，求证：DB是⊙C的切线；
抛物线上是否存在一点P，	使以P、、、
解：（1）A（6，0），B（0，6）             ……………………1分
连结OC,由于∠AOB=90o，C为AB的中点，则，
所以点O在⊙C上（没有说明不扣分）．
过C点作CE⊥OA，垂足为E，则E为OA中点,故点C的横坐标为3．
又点C在直线y=－x+6上，故C（3，3）    ……………………2分
抛物线过点O，所以c=0,
又抛物线过点A、C，所以，解得： 
所以抛物线解析式为   　 　…………………3分
（2）OA=OB=6代入OB2=OA·OD，得OD=6   　 ……………………4分
   所以OD=OB=OA，∠DBAC的切线     　 ……………………6分
（通过证相似三角形得出亦可）
（3）假设存在点P满足题意．因C为AB中点,O在圆上,故∠OCA=90o,
要使以P、、、CAP=90o或 ∠COP=90o,              ……………………7分
若∠CAP=90o,则OC∥AP，因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b．
又AP过点A（6，0），则b=－6,              ……………………8分
方程y=x－6与联立解得：，，   
 故点P1坐标为（－3，－9）                    ……………………9分
     若∠COP=90o,则OP∥AC，同理可求得点P2（9，－9）
      (用抛物线的对称性求出亦可)
     故存在点P1坐标为（－3，－9）和P2（9，－9）满足题意．…………10分
28．(甘肃省 本小题满分12分)如图，抛物线与x轴交于A（－1，03，0（0，－3）（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1），
由抛物线与y轴交于点C（0，－3）. 
即抛物线的解析式为．                  ………………………1分
把A（－1，03，0 
解得.
∴ 抛物线的解析式为y = x2－……………………………………………3分
∴ 顶点D的坐标为.       ……………………………………………………4分
说明：只要学生求对，不写“抛物线的解析式为y = x2－2x－3”不扣分.
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形.        ……………………………5分
理由如下：
过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.
在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴ .            …………………………6分
在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ .   …………………………7分
在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ .  …………………………8分
∴ ， 故△BCD为直角三角形.       …………………………9分
（3）连接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）．  ………10分
过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1 ∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，
求得符合条件的点为．           …………………………………………11分
过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，
求得符合条件的点为P2（9，0）．         …………………………………………12分
    ∴符合条件的点有三个：O（0，0），，P2（9，0）.
26．（桂林市 本题满分12分）如图，）两点的直线交于点C．轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移，到C点时停止；分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线的运动时间为t（秒）．与轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解（1）C）  ……………………………2分
的取值范围是：0≤≤4  ……………………………… 3分
（2）∵D，），E的坐标是（，）
∴DE=-=     ……………………4分
∴等边△DEF的DE边上的高为： 
∴当点F在BO边上
2010中考数学试题分类汇编-压轴题6.doc