二次函数基本概念和图像 二次函数的定义:我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,C是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。 称a为二次项系数, b为一次项系数,c为常数项。 【基础练习】 【1】下列函数中,哪些是二次函数? (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 是二次函数的是: 。 【2】、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项: (1) (2) (3) 【3】、若函数为二次函数,则m的值为 。 【典型例题】 例1.当k为何值时,函数为二次函数? 【基础练习】 1已知函数是二次函数,求m的值. 二次函数的图像: 表达式 顶点坐标 对称轴 最值 图像 +c y=ax2+bx+c 小知识点总结 开口方向由a的确定:当a>0,开口向上;当a<0,开口向下; 开口大小由a的绝对值确定:|a|越大开口越大; 对称轴是直线x等于顶点的横坐标,最值是y等于顶点的纵坐标; 已知图像如何判断a、b、c的符号 具体规则如下:a由图像开口确定(开口向上a>0,开口向下a<0),c由图像与y轴的交点确定(交y正半轴c>0,交y负半轴c<0) ,b由对称轴和a共同来确定。 说明:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与系数a、b、c、的关系 : 系数的符号 图像特征 a的符号 a 0. 抛物线开口向 a 0. 抛物线对称轴在y 轴的 侧 b=0 抛物线对称轴是 轴 b 0. 抛物线与y轴交于 C=0 抛物线与y轴交于 c 0. 抛物线与x 轴有 个交点 =0 抛物线与x 轴有 个交点 0 抛物线与x 轴有 个交点 【典型例题】 例1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则: a 0; b 0;c 0; 0。 【基础练习】 1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x2的顶点坐标是 , 对称轴是 , 在 侧,即x_____0时, y随着x的增大而增大;在 侧,即x_____0时, y随着x的增大而减小. 当x= 时,函数y最大值是____. 当x____0时,y 0. 2. 探索填空::据上边已画好的函数图象填空: 抛物线y= 2x2的顶点坐标是 , 对称轴是 ,在 侧,即x_____0时, y随着x的增大而减少;在 侧,即x_____0时, y随着x的增大而增大. 当x= 时,函数y最小值是____. 当x____0时,y 0 图像平移的问题: ()的图像的图像的图像。 的图像的对称轴是直线x=-m,顶点坐标是(-m,k) 。 口诀:(m、k)正负左右上下移 ( m左加右减 k上加下减) 【典型例题】 1、由抛物线y=2x2向 平移 个单位可得到y= 2(x+1)2 2、函数y= -5(x -4)2的图象。可以由抛物线 向 平移 4 个单位而得到的。 3、对于函数,请回答下列问题: (1)对于函数的图像可以由什么抛物线,经怎样平移得到的? (2)函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么? 【基础练习】 1、对于二次函数,请回答下列问题: ①把函数的图像作怎样的平移变换,就能得到函数的图像? ②说出函数的图像的顶点坐标和对称轴。 把抛物线向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线,求b、c的值. 课前小测试: 1、使有意义的x的取值范围为( ) A. B. C. D. 下列事件中,不是随机事件的是( ) A.篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中 B.经过城市某一个有交通信号灯的路口,遇到红灯 C.小伟掷六次骰子,每次向上的一面都是6点 D.度量三角形的内角和,结果为361° 在一次游戏当中,小明将下面四张扑克牌中的三张旋转了180°,得到的图案和原来一模一样.小芳看了后,很快知道没有旋转那张扑克牌是( ) A.黑桃Q B.梅花2 C.梅花6 D.方块9 4.下列事件是必然发生的事件的是( ) A.在地球上,上抛的篮球一定会下落 B.明天的气温一定经今天的高 C.中秋节晚上一定能看到月亮 D.某彩票中奖率是1%,买100张彩票一定中奖一张 5.如图,点A、B、C都在⊙O上,( ) A.40° B.50° C.80° D.100° 6.下列根式为最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 7.用配方法解方程,则方程可变形为( ) A. B. C. D. 8.若关于x的方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.如图所示的工件槽的两个底角均为90°,尺寸如图(单位cm),将形状规则的铁球放入槽内,若同时具有A,B,E三个接触点,则该球的半径是( )cm A.10 B.18 C.20 D.22 10.在“妙手推推推”的游戏中,主持人出示了一个不含0的9位数,让参与 者猜某商品的价格。被猜的价格是这个9位数中从左到右连在一起的某个4位 数。如果参与者不知道商品的价格,从这些连在一起的所有4位数中任意猜一个,则猜中该商品价格的概率是( ) A. B. C. D. 巩固练习: 1.当时,求抛物线的顶点所在的象限. 2. 已知抛物线的顶点A在直线上,求抛物线的顶点坐标. 3.已知正方形的面积为,周长为x(cm). (1)请写出y与x的函数关系式; (2)判断y是否为x的二次函数. 4、正方形铁片边长为15cm,在四个角上各剪去一个边长为x(cm)的小正方形,用余下的部分做成一个无盖的盒子. (1)求盒子的表面积S(cm2)与小正方形边长x(cm)之间的函数关系式; (2)当小正方形边长为3cm时,求盒子的表面积。 已知函数是二次函数,求m的值. 已知二次函数,当x=3时,y= -5,当x= -5时,求y的值. 7、已知抛物线的顶点在坐标轴上,求的值. 8、用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形,求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式.这个函数是二次函数吗?请写出半径r的取值范围. 课后练习: 1、抛物线的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,即x_____0时, y随着x的增大而增大; 在 侧,即x_____0时,y随着x的增大而减小;当x= 时,函数y最 值是____。 2、已知二次函数的图像如图所示,下列结论: ⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a 其中正确的结论的个数是( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 3、二次函数y=-4x2+2x+的对称轴是直线__________. 已知点P(5,25)在抛物线y=ax2上,则当x=1时,y的值为__________. 函数y=x2+2x-8与x轴的交点坐标是_________. 用配方法将二次函数化成的形式,那么y=_____________. 将y=3x2向左平移3个单位,再向下平移2个单位后,所得图像的函数表达式是_____. y=2x2和y=2x2+4x-5的顶点坐标和二次项系数可以得出y=2x2+4x-5的图象可由y=2x2的图象向 _______平移________个单位,再向_______平移______个单位得到。 9、分析若二次函数y=ax2+bx+c经过(1,0)且图象关于直线x=,对称,那么图象还必定经过哪一点? 10、(1) 若是二次函数,求m的值。 (2)已知函数的图象是开口向下的抛物线,求m的值。 、函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3交于点(1,b),求 (1)a
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