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全国初中数学竞赛试题及答案(1998年)..doc
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全国初中数学竞赛试题及答案(1998年)..doc介绍

一九九八年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
填空题
1.设,那么的整数部分是          .
2.在直角三角形ABC中,两条直角边AB,AC的长分别为1厘米,2厘米,那么直角的角平分线的长度等于          厘米.
3.已知,那么代数式的值是          .
4.已知,是有理数,并且方程有一个根是,那么的值是         .
5. 如图,ABCD为正方形,A,E,F,G在同一条直线上,并且AE=5厘米,EF=3厘米,那么FG=         厘米.
6.满足19982+=19972+的整数对,共有   个.
7.设平方数是11 个相继整数的平方和,则的最小值是       .
8.直角三角形ABC中,直角边AB上有一点M,斜边BC上有一点P, 已知的面积等于四边形MPCA的面积的一半, BP=2厘米, PC=3厘米,那么直角三角形ABC的面积是__________平方厘米.
9.已知正方形ABCD的面积35平方厘米, E, F分别为边AB, BC上的点, AF, CE相交于点G,并且的面积为5平方厘米,的面积为14平方厘米,那么四边形BEGF的面积是____________平方厘米.
10.把100个苹果分给若干个人,每人至少分一个,且每人分的数目各不相同,那么至多有__________人.
11.设为实数,那么的最小值是__________.
12. 1, 2, 3,98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是_______.
13.在右边的加法算式中,每一个□表示一个数字,任意两个数字都不相同,那么A与B乘积的最大值是____________.
14.直线AB和AC与圆O分别为相切于B,C两点,P为圆上一点,P到AB,AC的距离分别为4厘米,6厘米,那么P到BC的距离为       厘米.
15.每一本书都有一个国际书号: A B C D E F G H I J ,其中A B C D E F G H I 由九个数字排列而成,J是检查号码.令S=10A+9B+8C+7D+6E+5F+4G+3H+2I,
r是S除以11所得的余数,若r 不等于0或1,则规定J=11-r.(若r=0,则规定J=0;若r=1,规定J用表示)
现有一本书的书号是962707015,那么=         .
第二试
求所有正实数,使得方程仅有整数根.
已知P为?ABCD内一点,O为AC与BD的交点,M、N分别为PB,PC的中点,Q为AN与DM的交点,求证:
P,Q,O三点在一条直线上;
PQ=2OQ.
 3.试写出5个自然数,使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.
一 九 九 八 年
第 一 试
3
      ,,
∴     ,.
2.
如图,AD为直角A的平分线,过B作交CA的延长线于点E. ,
,,又∽,,∴.
3.2
         .
4.3
因为m、n为有理数,方程一根为,那么另一个根为,由韦达定理.
得  ,,∴.
5.
由原图      ,
∴               
                    (厘米).
6.16
             ,
             .
显然,对3995的任意整数分拆均可得到(m,n),故满足条件的整数对(m,n)共(个).
7.11
11个相继整数的平方和为
,
则y最小时,从而,∴.
8.
∵             ∽,
               ,
               ,
∴        ,.
       .
9.
∵    ,同理,
由原图,连BG.
    记,,,.
又由已知  ,,
解之得          ,  .
∴    .
10.13
由题意,设有n人,分苹果数分别为1,2,…,n
          ≤100,
∴  n≤13,所以至多有13人.
11.-1
    ≥-1.
当        ,,
即  ,时,上式不等式中等号成立,故所求最小值为-1.
12.73
对           
(1≤m n≤98  m,n为整数)
因为n+m与n-m同奇同偶,所以x是奇数或是4的倍数,所以1至98共98个自然数中,满足条件的数有49+24=73个.
13.15
设算式
∴                 A≤6.
    .
∴                .
欲令A·B最大,取A=5,B=3,此时b,e为6,8;a,c,f为2,4,7,故A·B最大值为15.
14.
如图,,,.P,Q,C,N四点共圆,P,Q,B,N四点共圆,
,
,
∴            ∽,
                 ,
         (厘米).
15.7
∴  S被11除所得的余数等于被11除所得的余数.由检查号码可知,S被11除所得的余数是11-5=6,因此7y被11除所得余数为
                    6-1=5,  ∴y=7
第 二 试
一、设两整数根为x,y(x≤y),
                 则
≤y≤a,4≤x≤8.可推出,  ∴  ,由于x为整数,
∴  时,,;  时,,;
    时,a不是整数;时,,.
于是或18或16均为所求.
说明  没有说明理由,仅指出a的每一个正确值给4分.
二、证明  如原图,连PO,设PO与AN,DM分别交于点,.
在中,∵,,
∴为重心,
在中,∵,,
∴为重心,
这样,并且,就是AN,DM的交点Q.故P,Q,O在一条直线上,且.
三、1680,1692,1694,1695,1696为满足条件的5个数(注:答案不唯一)
以上5个数可用以下步骤找出:
第一步:2,3,4为满足要求的三个数. 
第二步:设a,a+2,a+3,a+4为满足条件的四个数,则a可被2,3,4整除.取a=12,得满足条件的四个数12,14,15,16.
第三步:设b,b+12,b+14,b+15,b+16.取12,14,15,16的最小公倍数为b.即b=1680,得满足条件的五个数1680,1692,1694,1695,1696.
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a
c
f
B
b
e
A
d
h
+
g
显然:g=1,d=9,h=0.
  a+c+f=10+B
    b+e=9+A

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