一九九八年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 填空题 1.设,那么的整数部分是 . 2.在直角三角形ABC中,两条直角边AB,AC的长分别为1厘米,2厘米,那么直角的角平分线的长度等于 厘米. 3.已知,那么代数式的值是 . 4.已知,是有理数,并且方程有一个根是,那么的值是 . 5. 如图,ABCD为正方形,A,E,F,G在同一条直线上,并且AE=5厘米,EF=3厘米,那么FG= 厘米. 6.满足19982+=19972+的整数对,共有 个. 7.设平方数是11 个相继整数的平方和,则的最小值是 . 8.直角三角形ABC中,直角边AB上有一点M,斜边BC上有一点P, 已知的面积等于四边形MPCA的面积的一半, BP=2厘米, PC=3厘米,那么直角三角形ABC的面积是__________平方厘米. 9.已知正方形ABCD的面积35平方厘米, E, F分别为边AB, BC上的点, AF, CE相交于点G,并且的面积为5平方厘米,的面积为14平方厘米,那么四边形BEGF的面积是____________平方厘米. 10.把100个苹果分给若干个人,每人至少分一个,且每人分的数目各不相同,那么至多有__________人. 11.设为实数,那么的最小值是__________. 12. 1, 2, 3,98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是_______. 13.在右边的加法算式中,每一个□表示一个数字,任意两个数字都不相同,那么A与B乘积的最大值是____________. 14.直线AB和AC与圆O分别为相切于B,C两点,P为圆上一点,P到AB,AC的距离分别为4厘米,6厘米,那么P到BC的距离为 厘米. 15.每一本书都有一个国际书号: A B C D E F G H I J ,其中A B C D E F G H I 由九个数字排列而成,J是检查号码.令S=10A+9B+8C+7D+6E+5F+4G+3H+2I, r是S除以11所得的余数,若r 不等于0或1,则规定J=11-r.(若r=0,则规定J=0;若r=1,规定J用表示) 现有一本书的书号是962707015,那么= . 第二试 求所有正实数,使得方程仅有整数根. 已知P为?ABCD内一点,O为AC与BD的交点,M、N分别为PB,PC的中点,Q为AN与DM的交点,求证: P,Q,O三点在一条直线上; PQ=2OQ. 3.试写出5个自然数,使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除. 一 九 九 八 年 第 一 试 3 ,, ∴ ,. 2. 如图,AD为直角A的平分线,过B作交CA的延长线于点E. , ,,又∽,,∴. 3.2 . 4.3 因为m、n为有理数,方程一根为,那么另一个根为,由韦达定理. 得 ,,∴. 5. 由原图 , ∴ (厘米). 6.16 , . 显然,对3995的任意整数分拆均可得到(m,n),故满足条件的整数对(m,n)共(个). 7.11 11个相继整数的平方和为 , 则y最小时,从而,∴. 8. ∵ ∽, , , ∴ ,. . 9. ∵ ,同理, 由原图,连BG. 记,,,. 又由已知 ,, 解之得 , . ∴ . 10.13 由题意,设有n人,分苹果数分别为1,2,…,n ≤100, ∴ n≤13,所以至多有13人. 11.-1 ≥-1. 当 ,, 即 ,时,上式不等式中等号成立,故所求最小值为-1. 12.73 对 (1≤m n≤98 m,n为整数) 因为n+m与n-m同奇同偶,所以x是奇数或是4的倍数,所以1至98共98个自然数中,满足条件的数有49+24=73个. 13.15 设算式 ∴ A≤6. . ∴ . 欲令A·B最大,取A=5,B=3,此时b,e为6,8;a,c,f为2,4,7,故A·B最大值为15. 14. 如图,,,.P,Q,C,N四点共圆,P,Q,B,N四点共圆, , , ∴ ∽, , (厘米). 15.7 ∴ S被11除所得的余数等于被11除所得的余数.由检查号码可知,S被11除所得的余数是11-5=6,因此7y被11除所得余数为 6-1=5, ∴y=7 第 二 试 一、设两整数根为x,y(x≤y), 则 ≤y≤a,4≤x≤8.可推出, ∴ ,由于x为整数, ∴ 时,,; 时,,; 时,a不是整数;时,,. 于是或18或16均为所求. 说明 没有说明理由,仅指出a的每一个正确值给4分. 二、证明 如原图,连PO,设PO与AN,DM分别交于点,. 在中,∵,, ∴为重心, 在中,∵,, ∴为重心, 这样,并且,就是AN,DM的交点Q.故P,Q,O在一条直线上,且. 三、1680,1692,1694,1695,1696为满足条件的5个数(注:答案不唯一) 以上5个数可用以下步骤找出: 第一步:2,3,4为满足要求的三个数. 第二步:设a,a+2,a+3,a+4为满足条件的四个数,则a可被2,3,4整除.取a=12,得满足条件的四个数12,14,15,16. 第三步:设b,b+12,b+14,b+15,b+16.取12,14,15,16的最小公倍数为b.即b=1680,得满足条件的五个数1680,1692,1694,1695,1696. 中国数学教育网 http://max.book118.com info@mathedu.cn 第 1 页 http://max.book118.com http://max.book118.com 7 页 a c f B b e A d h + g 显然:g=1,d=9,h=0. a+c+f=10+B b+e=9+A
全国初中数学竞赛试题及答案(1998年)..doc
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