2003年全国初中数学联合竞赛决赛试题
一、选择题（每小题7分，共42分）
1、2＝＿＿。A　5－4  B4－1　C5　D1
2、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是＿＿个。A0　B1　C3　D5
3、若函数y＝kx(k＞0)与函数y＝x－1的图象相交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为＿＿。A1　B2　Ck   Dk2
4、满足等式x＝2003的正整数对的个数是＿＿。A1　B2　C3　D4
5、设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且AD∶AB＝1∶3。若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为，则的值为＿＿。A  B  C  D
6、如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切，若AB＝4，BE＝5，则ED的长为＿＿。A3　B4　C  D
二、填空题（每小题7分，共28分）
抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C。若△ABC是直角三角形，则ac＝＿＿＿＿。
设m是整数，且方程3x2＋mx－2=0的两根都大于－而小于，则m=_______。
如图，AA1、BB1分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA1＝BB1＝AB，则∠BAC的度数为＿＿。
已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a、b中较大的数是＿＿。
三、（本题满分20分）
在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE＝DF；过E，F分别作CA、CB的垂线，相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N。求证：①△DEM≌△DFN；②∠PAE＝∠PBF。
四、（本题满分20分）已知实数a、b、c、d互不相等，且a＋＝b＋＝c＋＝d+＝x，试求x的值。
五、已知：四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16。①这样的四边形有几个？②求这样的四边形边长的平方和的最小值。
试题说明：这是2004年全国初中数学联赛试题(决赛)试题，今天把它录入进电脑，希望能够给假期需要研究的老师和学生们提供方便。还将陆续上传我自己录入电脑的前几年的联赛试题，请关注。
2003年全国初中数学联赛答案：
第一试
一、1、(D)；
2、(C)；由于任何凸多边形的外角之和都是360o，故外角中钝角的个数不超过3个，即内角中锐角最多不超过3个。
3、(A)；设A()，则，故。又因为△ABO与△CBO同底等高，因此，
4、(B)；由已知等式可得
而，所以，。故
又因为2003为质数，必有或
5、(B)；如图3，连结BE，
设，则。
。故
6、(D)；如图4，连结AC、CE。
由AE∥BC，知四边形ABCE是等腰梯形。故AC＝BE＝5。
又因为Dc∥AB，DC与圆相切，所以，∠BAC＝∠ACD＝∠ABC。
则AC＝BC＝AD＝5，DC＝AB＝4
因为，故
二、1、－1；设A。由△ABC是直角三角形可知必异号。则
由射影定理知，即；故
2、4；由题设可知，
解得。故
3、12o；设∠BAC的度数为
因，故∠又，则
∠＝∠CBD＝。因为∠
故，解得o
4、225；设()＝，且，，其中，与互质。于是的最小公倍数为。依题意有
，即
又，据式(2)可得
根据式(1)，只能取，可求得
故两个数中较大的数是。
第二试
A卷
一、解：设前后两个二位数分别为，
有；即
当△＝
即，则时，方程有实数解
由于必为完全平方数，而完全平方数的未位数字仅可能为0，1，4，5，6，9，故仅可取25；此时，或
故所求四位数为2025或3025
二、(1)如图，据题设可知，DM∥BN，DM＝BN，DN∥AM，DN＝AM
故∠AMD＝∠BND
因为M、N分别是Rt△AEP和Rt△BFP斜边的中点，
所以，EM＝AM＝DN，FN＝BN＝DM
又已知DE＝DF，故△DEM≌△FDN
(2)由上述三角形全等可知∠EMD＝∠FND，则∠AME＝∠BNF
而△AME、△BNF均为等腰三角形，所以，∠PAE＝∠PBF
三、解：由已知有
  ①；  ②；  ③；  ④
由式①解出  ⑤
式⑤代入式②得  ⑥
将式⑥代入③得
即  ⑦
由式④得，代入式⑦得
由已知，故
若，则由式⑥可得，矛盾。故有
B卷
一、同(A卷)第一题的解答。
二、如图，分别取AP、BP的中点M、N。连结EM、DM、FN、DN。由D是AB的中点，则
DM∥BN，DM＝BN，DN∥AM，DN＝AM。故∠AMD＝∠BND。
又因为M、N分别是Rt△AEP、Rt△BFP斜边的中点，所以，
EM＝AM＝DN，FN＝BN＝DM。
因为DE＝DF，则△DEM≌△FDN
故∠EMD＝∠FND，从而，∠AME＝∠BNF
而△AME、△BNF均为等腰三角形，故∠PAE＝∠PBF
三、(1)如图，记AB＝a，CD＝b，AC＝，并设△ABC的边AB上的高为，△ADC的边DC上的高为。则
＝
仅当时等号成立。即在四边形ABCD中，当AC⊥AB，AC⊥CD时等号成立。
由已知可得
又由题设，可得
于是，，且这时AC⊥AB，AC⊥CD
因此，这样的四边形有如下4下：
，
它们都是以AC为高的梯形或平行四边形。
(2)又由AB＝，CD＝，则
因此，这样的四边形的边长的平方和为
故当时，平方和最小，且为192
(C)卷
一、同(A卷)第三题的解答。
二、除图的形式不同(如图)外，解答同(B卷)第二题
三、同(B卷)第三题解答。
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