第九讲 “设而不求”的未知数
　　让我们先看一道简单的数学题．
　　三角形的面积．
　　c，因为斜边上的中线长是1，所以斜边长c=2．再设两条直角边的长度是a，b，面积是S，那么
a2+b2+2ab=6 ④
　　把②，③代入④式得
4+4S=6，
　　S的值，而我们却设了三个未知数：a，b，S，并且在解题过程中，我们也根本没求a，b的值．但是由于增设了a，b后，给我们利用等量关系列方程及方程组求S的值，带来了很大的便利，像这种未知数(如a，b)就是本讲所要介绍的“设而不求”的未知数．
　　所谓“设而不求”的未知数，又叫辅助元素，它是我们为解决问题增设的一些参数，它能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用．
　　2若
　　求x+y+z的值．
　　则有
x=k(a-b)， y=k(b-c)， z=k(c-a)，
　　所以
x+y+z=k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0，
　　 x+y+Z=0．
　　k，就是“设而不求”的未知数．
　　3 已知p，q，r都是5的倍数，r＞q＞p，且r=p+10，试求 
　　p=5k1，q=5k2，r=5k3，由题意可知，k1，k2，k3都是整数．因为r＞q＞p，所以k3＞k2＞k1．又因为
r=p+10，
　　 5k3=5k1+10，
k3=k1+2， ①
　　 k1+2＞k2＞k1，
　　 k2=k1+1． ②
　　将①，②代入所求的代数式得
　　k1，k2，k3均是“设而不求”的未知数．
a＞1，并且设
　　n-13=ak1，①
　　5n+6=ak2．②
　　k1，k2为自然数．
　　n=13+ak1，将之代入②得
5(13+ak1)+6=ak2，
　　 　　　　　　　　　　　　　　　71+5ak1=ak2
　　 　　　　　　　　　　　　　　a(k2-5k1)=71
　　71是质数，且a＞1，所以a＝71，所以
n=k1·71+13．
　　n最小为84．
　　5甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17，这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？
　　a，b，c，d，根据题意有
　　d最大，c最小，所以⑤-⑧得
所以d-c=18，即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为18．
　　a，b，c，d的值，只须比较一下，找出最大者与最小者是谁，作差即可求解．
　　6 设有n个数x1，x2，…，xn，它们的值只能是0，1，2三个数中的一个，如果记
　　f1和f2表示
　　x1，x2，…，xn这几个数中取值为0的有s个，取值为1的有t个，取值为2的有r个，则s+t+r=n，0≤t≤n，0≤s≤n，0≤r≤n，由此得
f1=t+2r，f2=t+4r．
　　所以
=(2k-1)f2-(2k-1-2)f1．
　　s，t，r找到了fk与f1，f2的关系表达式．
9整除的特征有
6+2+α+β+4+2+7=9m(m为自然数)，
　　 α+β+3=9m1(m1为自然数)．
　　0≤α≤9，0≤β≤9，则有
3≤α+β+3≤21，
　　从而有
α+β=6或α+β=15． ①
　　11整除的特征有
α-β=-2或α-β=9． ②
　　0≤α≤9，0≤β≤9，故只有α=2，β=4．
　　 6 224 427．
　　8 我手中的卡片上写有一个三位数，并且个位数不为零，现将个位与百位数字对调，取两数的差(大数减小数)，将所得差的三位数与此差的个位、百位数字对调后的三位数相加，最后的和是多少？
　　　=a100+b×10+c-(c×100+b×10+a) 
　　　=99a-99×c
　　　=100a-100×c-100+90+10-a+c
　　　=100(a-c-1)+910+(10-a+c)．
　　因k是三位数，所以
2≤a-c≤8， 1≤a-c-1≤7．
　　所以 　　　　　　　　　　　　　210-a+c≤8．
　　差对调后为
k＇=(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1)，
　　所以
k+k＇=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)
　　　　　　　+(10-a+c)100+9×10+(a-c-1)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　=1089
　　1089．
　　a，b，c作为参数被引进，但运算最终又被消去了，而无须求出它们的值．这正是“设而不求”的未知数的典型例子．
　　在列方程解应用题中，更是经常用到增设参数的方法，下面再举几个例题．
　　9 从两个重量分别为12千克(kg)和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？
　　1 设所切下的合金的重量为x千克，重12千克的合金的含铜百分数为p，重8千克的合金的含铜百分数为q(p≠q)，于是有
整理得 　　　　　　　5(q-p)x=24(q-p)
　　p≠q，所以q-p≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．
　　2 设从重12千克的合金上切下的x千克中含铜m千克，从重8千克的合金上切下的x千克中含铜n千克(m≠n)，则这两个合金含
　　 5x(n-m)=24(n-m)．
　　m≠n，所以n-m≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．
　　10 某队伍长1998米(m)，在行进中排尾的一个战士因事赶到排头，然后立即返回，当这个战士回到排尾时，全队已前进1998米，如果队伍和这个战士行进的速度都不改变，求这个战士走过的路程．
　　1 设这个战士走过的路程为s米，所需要的时间为t小时(h)，
消去参数t得
解之得
　　2 设这个战士的行进速度为V1米/小时，队伍行进的速度为
因此
　　所以这个战士所走距离为
　　(如上例中的两种解法)．
练习九
　　字)，又N是4的倍数，且N被11除余5，那么x+y等于多少？ 
　　46小时；
时；乙、丙、戊同时工作，需用5小时，问五个人同时工作需用多少小时完成？
　　5x分钟(min)发车一次，小红在大街上行走，发
辆公共汽车，如果公共汽车与小红行进的速度都是匀速的，则x为多少？

全国初中数学竞赛辅导（初1）第09讲 “设而不求”的未知数.doc