2006年全国初中数学竞赛试题
考试时间   2006年4月2日上午   9∶30－11∶30   满分120分
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分）
1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（    ）
（A）36          （B）37         （C）55            （D）90
2．已知，，且=8，则a的值等于（    ）   
（A）－5         （B）5          （C）－9           （D）9  
3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（    ）
（A）h 1        （B）h=1         （C）1 h 2         （D）h 2
4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（    ）
（A）2004        （B）2005        （C）2006          （D）2007
5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（    ）
（A）
（B） 
（C）
（D）
二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）
6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a b，则a＋b＋c的最大值为                 ．
7．如图，面积为的正方形DEFG内接于
面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c为整数，
且b不能被任何质数的平方整除，则的值
等于           ．
8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过        分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．
9．已知0 a 1，且满足，则的值等于
                ．(表示不超过x的最大整数)
10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是           ．
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11．已知，，为互质的正整数（即，是正整数，且它们的最大公约数为1），且≤8，．
试写出一个满足条件的x；
求所有满足条件的x．
12．设，，为互不相等的实数，且满足关系式
          ①
                 ②
求a的取值范围．
13．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB．
14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．
2006年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分）
1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（    ）
（A）36          （B）37         （C）55            （D）90
答：C．
解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36=55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处．
故选C．
2．已知，，且=8，则a的值等于（    ）   
（A）－5         （B）5          （C）－9           （D）9  
答：C．
解：由已知可得，．又
=8，所以    解得a=－9
故选C．
3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（    ）
（A）h 1        （B）h=1         （C）1 h 2         （D）h 2
答：B．
解：设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（|c| |a|），则点B的坐标为
（－a，a2），由勾股定理，得，
，        
所以     ．
由于，所以a2－c2=1，故斜边AB上高h= a2－c2=1
故选B．
4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（    ）
（A）2004        （B）2005        （C）2006          （D）2007
答：B．
解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k次后，可得(k＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k＋1)×360°．
因为这(k＋1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×(62－2)×180°=34×60×180°，其余多边形有(k＋1)－34= k－33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k－33) ×180°．所以(k＋1)×360°≥34×60×180°＋(k－33)×180°，解得k≥2005．
当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了
58＋33＋33×58=2005（刀）．
故选B．
5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（    ）
（A）
（B） 
（C）
（D）
答：D．
解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r＋m，
QA=r－m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA·QC=QP·QD．
即   (r－m)(r＋m)=m·QD ，所以  QD=．
连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2＋QO2，
即       ，    解得
所以， 
故选D．
二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）
6．已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a b，则a＋b＋c的最大值为                 ．
答：5013．
解：由，，得 ．
因为，a b，a为整数，所以，a的最大值为1002．
于是，a＋b＋c的最大值为5013．
7．如图，面积为的正方形DEFG内接于
面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c为整数，
且b不能被任何质数的平方整除，则的值
等于           ．
答：．
解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则，
由△ADG∽△ABC，可得，  解得
于是         ，
由题意，，，，所以．
8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过        分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．
答：104．
解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了46×=368x米．于是368(x－1)＋800－400(x－1) 400，．
9．已知0 a 1，且满足，则的值等于                ．(表示不超过x的最大整数)
答：6．
解：因为0 ，所以，，…，等于0或1．由题设知，其中有18个等于1，所以
=0，=1，
所以                 ，1≤＜2．
故18≤30a＜19，于是6≤10 a＜，所以=6．
10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第
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