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全国初中数学竞赛试题及答案(2005年).doc
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全国初中数学竞赛试题及答案(2005年).doc介绍

2005年全国初中数学联赛决赛试卷
一、选择题:(每题7分,共42分)
1、化简:的结果是__。
A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数
2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14;则这个四边形的面积为__。
A、78.5 B、97.5 C、90 D、102
3、设r≥4,a=,b=,
c=,则下列各式一定成立的是__。
A、a b c  B、b c a C、c a b D、c b a
4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成,如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和,则这两圆的公共弦长是__。
A、 B、 C、 D、
5、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,       y
记p=|a-b+c|+|2a+b|,q=|a+b+c|+|2a-b|,则__。
A、p q  B、p=q  C、p q  D、p、q大小关系不能确定
                                                   0   1        x
6、若x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数,满足(2005-x1)(2005-x2)(2005-x3)(2005-x4)(2005-x5)=242,则的未位数字是__。
A、1 B、3 C、5 D、7
二、填空题(共28分)
1、不超过100的自然数中,将凡是3或5的倍数的数相加,其和为__。
2、x=___。
3、若实数x、y满足则x+y=__。
4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足:A>B>C,用a表示A-B,B-C以及90°-A中的最小者,则a的最大值为___。
三、解答题(第1题20分,第2、3题各25分)
1、a、b、c为实数,ac<0,且,证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有大于而小于1的根。
2、锐角ΔABC中,AB>AC,CD、BE分别是AB、AC边上的高,过D作BC的垂线交BE于F,交CA的延长线于P,过E作BC的垂线,交CD于G,交BA的延长线于Q,证明:BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点。
3、a、b、c为正整数,且a2+b3=c4,求c的最小值。
2005年全国联赛决赛试卷详解
一、选择题:(每题7分,共42分)
1、化简:的结果是__。
A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数
解:
   所以选D
2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14;则这个四边形的面积为__。
A、78.5 B、97.5 C、90 D、102
解:由题意得:
  52+142-2×5×14×cosα=102+112-2×10×11×cos(180°-α)
  ∴221-140cosα=221+220 cosα
  ∴cosα=0
∴α=90°
∴四边形的面积为:5×7+5×11=90
  ∴选C
3、设r≥4,a=,b=,c=,则下列各式一定成立的是__。
A、a b c  B、b c a C、c a b D、c b a
解法1:用特值法,取r=4,则有
  a=,b= ,
c=
∴c b a,选D
解法2:a=,
b=
c=
解法3:∵r≥4 ∴<1
    ∴
 c=
    ∴a b c,选D
4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成,如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和,则这两圆的公共弦长是__。
A、 B、 C、 D、
解:由图形割补知圆面积等于矩形ABCD的面积
  ∴
  由垂径定理得公共弦为
  ∴选D
5、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,     
记p=|a-b+c|+|2a+b|,q=|a+b+c|+|2a-b|,则__。
A、p q  B、p=q  C、p q  D、p、q大小关系不能确定
解:由题意得:a 0,b 0,c=0
   ∴p=|a-b|+|2a+b|,q=|a+b|+|2a-b|
  又
  ∴p=|a-b|+|2a+b|=b-a+2a+b=a+2b=2b+a,
q=|a+b|+|2a-b|= a+b+b-2a=2b-a
∴p q,选C                                                            
6、若x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数,满足(2005-x1)(2005-x2)(2005-x3)(2005-x4)(2005-x5)=242,则的未位数字是__。
A、1 B、3 C、5 D、7
解:因为x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数,所以(2005-x1)、(2005-x2)、(2005-x3)、(2005-x4)、(2005-x5)为互不相等的偶数
而将242分解为5个互不相等的偶数之积,只有唯一的形式:242=2·(-2)·4·6·(-6)
所以(2005-x1)、(2005-x2)、(2005-x3)、(2005-x4)、(2005-x5)分别等于2、(-2)、4、6、(-6)
所以(2005-x1)2+(2005-x2)2+(2005-x3) 2+(2005-x4) 2+(2005-x5) 2=22+(-2) 2+42+62+(-6) 2=96
展开得:
二、填空题(共28分)
1、不超过100的自然数中,将凡是3或5的倍数的数相加,其和为__。
解:(3×1+3×2+……3×33)+(5×1+5×2+……5×20)-(15×1+15×2+……15×6)=1683+1050-315=2418
2、x=___。
解:分子有理化得:
  ∵x≠0,
∴
  两边平方化简得:
  再平方化简得:
3、若实数x、y满足则x+y=__。
解法1:假设x+y=a,则y=a-x
解法2:易知
    化简得:
4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足:A>B>C,用a表示A-B,B-C以及90°-A中的最小者,则a的最大值为___。
解:
三、解答题(第1题20分,第2、3题各25分)
1、a、b、c为实数,ac<0,且,证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有大于而小于1的根。
解:设
  ∴
  ∴一元二次方程ax2+bx+c=0有大于而小于1的根.
2、锐角ΔABC中,AB>AC,CD、BE分别是AB、AC边上的高,DE 与BC的延长线于交于T,过D作BC的垂线交BE于F,过E作BC的垂线交CD于G,证明:F、G、T三点共线。
证法1:设过D、E的垂线分别交BC于M、N,在Rt△BEC 与Rt△BDC中,由射影定理得:
CE2=CN·CB,BD2=BM·BC
∴
又Rt△CNG ∽Rt△DCB,Rt△BMF ∽Rt△BEC,
∴
∴
在Rt△BEC 与Rt△BDC中,由面积关系得:BE·CE=EN·BC,BD·CD=DM·BC
∴
由(1)(2)得:
证法2:设CD、BE相交于点H,则H为△ABC的垂心,记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R
∵DM∥AR∥EN
∴
由合比定理得:
证法3:在△ABC中,直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D,由梅涅劳斯定理得:
设CD、BE相交于点H,则H为△ABC的垂心,AH⊥BC
∵DF⊥BC、EG⊥BC
∴AH ∥DF ∥EG
∴
由梅涅劳斯定理的逆定理得:F、G、T三点共线.
证法4:连结FT交EN于G’,易知
为了证明F、G、T三点共线,只需证明即可
∵
 又
∴
∵CD⊥AB、BE⊥CA,∴B、D、E、C四点共圆
∴∠ABE=∠ACD  (2)
又 (3)
将(2) (3)代入(1)得:,故F、G、T三点共线.
3、设a、b、c为正整数,且a2+b3=c4,求c的最小值。
解:显然c>1.由题设得:(c2-a)(c2+a)=b3
   若取
 由大到小考察b,使为完全平方数,易知当b=8时,c2=36,则c=6,从而a=28。下面说明c没有比6更小的正整数解,列表如下:
c	c4	x3(x3 c4)	c4-x3		2	16	1,8	17,8		3	81	1,8,27,64	80,73,54,17		4	256	1,8,27,64,125,216	255,248,229,192,131,40		5	625	1,8,27,64,125,216,343,512	624,617,598,561,500,409,282,113		显然,表中c4-x3的值均不是完全平方数。故c的最小值为6
参考答案:一、1、D  原式=
2、C ∵52+142=221=102+112  ∠A、 ∠C都是直角
3、D 
4、D 5、C 6、A
二、1、2418 2、 3、x+y=33+43+53+63=432 4、15°
三、1、略 2、略 3、c的最小值为6。
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