2005年全国初中数学联赛决赛试卷 一、选择题:(每题7分,共42分) 1、化简:的结果是__。 A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数 2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14;则这个四边形的面积为__。 A、78.5 B、97.5 C、90 D、102 3、设r≥4,a=,b=, c=,则下列各式一定成立的是__。 A、a b c B、b c a C、c a b D、c b a 4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成,如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和,则这两圆的公共弦长是__。 A、 B、 C、 D、 5、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示, y 记p=|a-b+c|+|2a+b|,q=|a+b+c|+|2a-b|,则__。 A、p q B、p=q C、p q D、p、q大小关系不能确定 0 1 x 6、若x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数,满足(2005-x1)(2005-x2)(2005-x3)(2005-x4)(2005-x5)=242,则的未位数字是__。 A、1 B、3 C、5 D、7 二、填空题(共28分) 1、不超过100的自然数中,将凡是3或5的倍数的数相加,其和为__。 2、x=___。 3、若实数x、y满足则x+y=__。 4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足:A>B>C,用a表示A-B,B-C以及90°-A中的最小者,则a的最大值为___。 三、解答题(第1题20分,第2、3题各25分) 1、a、b、c为实数,ac<0,且,证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有大于而小于1的根。 2、锐角ΔABC中,AB>AC,CD、BE分别是AB、AC边上的高,过D作BC的垂线交BE于F,交CA的延长线于P,过E作BC的垂线,交CD于G,交BA的延长线于Q,证明:BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点。 3、a、b、c为正整数,且a2+b3=c4,求c的最小值。 2005年全国联赛决赛试卷详解 一、选择题:(每题7分,共42分) 1、化简:的结果是__。 A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数 解: 所以选D 2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14;则这个四边形的面积为__。 A、78.5 B、97.5 C、90 D、102 解:由题意得: 52+142-2×5×14×cosα=102+112-2×10×11×cos(180°-α) ∴221-140cosα=221+220 cosα ∴cosα=0 ∴α=90° ∴四边形的面积为:5×7+5×11=90 ∴选C 3、设r≥4,a=,b=,c=,则下列各式一定成立的是__。 A、a b c B、b c a C、c a b D、c b a 解法1:用特值法,取r=4,则有 a=,b= , c= ∴c b a,选D 解法2:a=, b= c= 解法3:∵r≥4 ∴<1 ∴ c= ∴a b c,选D 4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成,如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和,则这两圆的公共弦长是__。 A、 B、 C、 D、 解:由图形割补知圆面积等于矩形ABCD的面积 ∴ 由垂径定理得公共弦为 ∴选D 5、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示, 记p=|a-b+c|+|2a+b|,q=|a+b+c|+|2a-b|,则__。 A、p q B、p=q C、p q D、p、q大小关系不能确定 解:由题意得:a 0,b 0,c=0 ∴p=|a-b|+|2a+b|,q=|a+b|+|2a-b| 又 ∴p=|a-b|+|2a+b|=b-a+2a+b=a+2b=2b+a, q=|a+b|+|2a-b|= a+b+b-2a=2b-a ∴p q,选C 6、若x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数,满足(2005-x1)(2005-x2)(2005-x3)(2005-x4)(2005-x5)=242,则的未位数字是__。 A、1 B、3 C、5 D、7 解:因为x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数,所以(2005-x1)、(2005-x2)、(2005-x3)、(2005-x4)、(2005-x5)为互不相等的偶数 而将242分解为5个互不相等的偶数之积,只有唯一的形式:242=2·(-2)·4·6·(-6) 所以(2005-x1)、(2005-x2)、(2005-x3)、(2005-x4)、(2005-x5)分别等于2、(-2)、4、6、(-6) 所以(2005-x1)2+(2005-x2)2+(2005-x3) 2+(2005-x4) 2+(2005-x5) 2=22+(-2) 2+42+62+(-6) 2=96 展开得: 二、填空题(共28分) 1、不超过100的自然数中,将凡是3或5的倍数的数相加,其和为__。 解:(3×1+3×2+……3×33)+(5×1+5×2+……5×20)-(15×1+15×2+……15×6)=1683+1050-315=2418 2、x=___。 解:分子有理化得: ∵x≠0, ∴ 两边平方化简得: 再平方化简得: 3、若实数x、y满足则x+y=__。 解法1:假设x+y=a,则y=a-x 解法2:易知 化简得: 4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足:A>B>C,用a表示A-B,B-C以及90°-A中的最小者,则a的最大值为___。 解: 三、解答题(第1题20分,第2、3题各25分) 1、a、b、c为实数,ac<0,且,证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有大于而小于1的根。 解:设 ∴ ∴一元二次方程ax2+bx+c=0有大于而小于1的根. 2、锐角ΔABC中,AB>AC,CD、BE分别是AB、AC边上的高,DE 与BC的延长线于交于T,过D作BC的垂线交BE于F,过E作BC的垂线交CD于G,证明:F、G、T三点共线。 证法1:设过D、E的垂线分别交BC于M、N,在Rt△BEC 与Rt△BDC中,由射影定理得: CE2=CN·CB,BD2=BM·BC ∴ 又Rt△CNG ∽Rt△DCB,Rt△BMF ∽Rt△BEC, ∴ ∴ 在Rt△BEC 与Rt△BDC中,由面积关系得:BE·CE=EN·BC,BD·CD=DM·BC ∴ 由(1)(2)得: 证法2:设CD、BE相交于点H,则H为△ABC的垂心,记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R ∵DM∥AR∥EN ∴ 由合比定理得: 证法3:在△ABC中,直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D,由梅涅劳斯定理得: 设CD、BE相交于点H,则H为△ABC的垂心,AH⊥BC ∵DF⊥BC、EG⊥BC ∴AH ∥DF ∥EG ∴ 由梅涅劳斯定理的逆定理得:F、G、T三点共线. 证法4:连结FT交EN于G’,易知 为了证明F、G、T三点共线,只需证明即可 ∵ 又 ∴ ∵CD⊥AB、BE⊥CA,∴B、D、E、C四点共圆 ∴∠ABE=∠ACD (2) 又 (3) 将(2) (3)代入(1)得:,故F、G、T三点共线. 3、设a、b、c为正整数,且a2+b3=c4,求c的最小值。 解:显然c>1.由题设得:(c2-a)(c2+a)=b3 若取 由大到小考察b,使为完全平方数,易知当b=8时,c2=36,则c=6,从而a=28。下面说明c没有比6更小的正整数解,列表如下: c c4 x3(x3 c4) c4-x3 2 16 1,8 17,8 3 81 1,8,27,64 80,73,54,17 4 256 1,8,27,64,125,216 255,248,229,192,131,40 5 625 1,8,27,64,125,216,343,512 624,617,598,561,500,409,282,113 显然,表中c4-x3的值均不是完全平方数。故c的最小值为6 参考答案:一、1、D 原式= 2、C ∵52+142=221=102+112 ∠A、 ∠C都是直角 3、D 4、D 5、C 6、A 二、1、2418 2、 3、x+y=33+43+53+63=432 4、15° 三、1、略 2、略 3、c的最小值为6。 中国数学教育网 http://max.book118.com info@mathedu.cn 第 7 页 http://max.book118.com http://max.book118.com 10 页 y 0 1 x
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