2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试 一、选择题:(本题满分42分,每小题7分) 1.已知,,则的值为 ( B ) A.1. B.. C.. D.. 2.已知△的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数,则第三条高线长的最大值为 ( B ) A. B.C.D.的解的个数为 ( C ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 .4.今有长度分别为1,2,…,9的线段各一条,现从中选出若干条线段组成“线段组”,由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形,则这样的“线段组”的组数有 ( C ) A.5组. B.7组. C.9组. D.11组. 5.如图,菱形ABCD中,,,,,,则 ( D ) A.. B.. C.. D.. 6.已知,,,则的值为 ( C ) A.1. B.. C.2. D.. 二、填空题:(本题满分28分,每小题7分) 1.在△ABC中,已知,,则. 2.二次函数的图象的顶点为D,与x轴正方向从左至右依次交于A,B两点,与y轴正方向交于C点,若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形(O为坐标原点),则 2 . 3.能使是完全平方数的正整数n的值为 11 . 4.如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD与AB交于点E,过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F,如果,,D为EF的中点,则AB= 24 . 第二试 (A) 一、(本题满分20分) 已知三个不同的实数满足,方程和有一个相同的实根,方程和也有一个相同的实根.求的值. 解 依次将题设中所给的四个方程编号为①,②,③,④. 设是方程①和方程②的一个相同的实根,则 两式相减,可解得. 设是方程③和方程④的一个相同的实根,则两式相减,可解得。 所以 . 又方程①的两根之积等于1,于是也是方程①的根,则。 又 ,两式相减,得 . 若,则方程①无实根,所以,故. 于是 .又,解得 . 二.(本题满分25分) 如图,在四边形ABCD中,已知,,,对角线交于点,且,为的中点.求证:(1);(2). 证明 (1)由已知得 ,从而四点共圆,为直径,为该圆的圆心. 作于点,知为的中点,所以==,从而. (2)作于点,则. 又, ∴ , ∴ Rt△≌Rt△,∴ , 又,所以,故,所以. 三.(本题满分25分) 已知为正整数,.设,,,O为坐标原点.若,且. (1)证明:; (2)求图象经过三点的二次函数的解析式. 解 (1)因为,,所以,即. 由,得. 又 , 从而有,即. (2)由,知是关于x的一元二次方程 ① 的两个不相等的正整数根,从而,解得。 又为正整数,故或. 当时,方程①为,没有整数解. 当时,方程①为,两根为. 综合知:. 设图象经过三点的二次函数的解析式为,将点的坐标代入得 ,解得. 所以,图象经过三点的二次函数的解析式为. 第二试 (B) 一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同. 二.(本题满分25分) 如图,在四边形ABCD中,已知,,,对角线交于点,且.求证:. 证明 由已知得 ,从而四点共圆,为直径. 设为AC的中点,则为四边形ABCD的外接圆的圆心. 作于点,则M为BD的中点,所以==,从而. 作于点,则.又, ∴ , ∴ Rt△≌Rt△,∴, 又,所以,所以,所以. 三.(本题满分25分) 已知为正整数,.设,,,O为坐标原点.若,且++=++).求图象经过三点的二次函数的解析式. 解 因为,,所以 ,即. 由,得. 又 , 从而有,即. 又,故是关于x的一元二次方程 ① 的两个不相等的正整数根,从而,解得。 又为正整数,故或. 当时,方程①为,没有整数解. 当时,方程①为,两根为. 综合知:. 设图象经过三点的二次函数的解析式为,将点的坐标代入得 ,解得. 所以,图象经过三点的二次函数的解析式为. 第二试 (C) 一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同. 二.(本题满分25分) 如图,已知为锐角△内一点,过分别作的垂线,垂足分别为,为的平分线,的延长线交于点.如果,求证:是的平分线. 证明 如图1,作于点,于点,于点,于点. 设,∵ , ∴. 若,如图2,作,分别交于点,则△∽△,∴,∴ , ∴ . 若,则. 若,同理可证. ∵,∴ ,∴. ∵ ,∴,∴. 又,∴ . 又因为是的平分线,所以,∴ . 显然,即,∴ ,∴是的平分线. 三.(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第三题相同.
全国初中数学联赛试题及解答(2011年).doc
下载此电子书资料需要扣除0点,