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全国初中数学联赛试题及解答(2011年).doc
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全国初中数学联赛试题及解答(2011年).doc介绍

2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)
1.已知,,则的值为                         (  B  )
A.1.             B..           C..          D..
2.已知△的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数,则第三条高线长的最大值为                                                                             (  B  )
A.             B.C.D.的解的个数为                                  (  C  )
A.1个           B.2个            C.3个            D.4个
.4.今有长度分别为1,2,…,9的线段各一条,现从中选出若干条线段组成“线段组”,由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形,则这样的“线段组”的组数有                           (  C  )
A.5组.          B.7组.          C.9组.            D.11组.
5.如图,菱形ABCD中,,,,,,则                               (  D  )
A..            B.. 
C..           D..
6.已知,,,则的值为     (  C  )
A.1.          B..         C.2.          D..
二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)
1.在△ABC中,已知,,则.
2.二次函数的图象的顶点为D,与x轴正方向从左至右依次交于A,B两点,与y轴正方向交于C点,若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形(O为坐标原点),则   2    .
3.能使是完全平方数的正整数n的值为    11    .
4.如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD与AB交于点E,过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F,如果,,D为EF的中点,则AB=     24   .
第二试 (A)
一、(本题满分20分)
已知三个不同的实数满足,方程和有一个相同的实根,方程和也有一个相同的实根.求的值.
解  依次将题设中所给的四个方程编号为①,②,③,④.
设是方程①和方程②的一个相同的实根,则 两式相减,可解得.
设是方程③和方程④的一个相同的实根,则两式相减,可解得。
所以 . 
又方程①的两根之积等于1,于是也是方程①的根,则。
又 ,两式相减,得 . 
若,则方程①无实根,所以,故.
于是 .又,解得 . 
二.(本题满分25分)
如图,在四边形ABCD中,已知,,,对角线交于点,且,为的中点.求证:(1);(2).
证明 (1)由已知得 ,从而四点共圆,为直径,为该圆的圆心. 
作于点,知为的中点,所以==,从而. 
(2)作于点,则.
又,
∴ ,
∴  Rt△≌Rt△,∴  ,
又,所以,故,所以.                                                 
三.(本题满分25分)
已知为正整数,.设,,,O为坐标原点.若,且.
(1)证明:;
(2)求图象经过三点的二次函数的解析式.
解  (1)因为,,所以,即.
由,得. 
又
,
从而有,即.
(2)由,知是关于x的一元二次方程
                     ①
的两个不相等的正整数根,从而,解得。
又为正整数,故或. 
当时,方程①为,没有整数解.
当时,方程①为,两根为.
综合知:. 
设图象经过三点的二次函数的解析式为,将点的坐标代入得 ,解得.
所以,图象经过三点的二次函数的解析式为.
第二试 (B)
一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同. 	
二.(本题满分25分)
如图,在四边形ABCD中,已知,,,对角线交于点,且.求证:.
证明  由已知得 ,从而四点共圆,为直径.
设为AC的中点,则为四边形ABCD的外接圆的圆心.
作于点,则M为BD的中点,所以==,从而. 
作于点,则.又,
∴  , 
∴  Rt△≌Rt△,∴,
又,所以,所以,所以.
三.(本题满分25分)
已知为正整数,.设,,,O为坐标原点.若,且++=++).求图象经过三点的二次函数的解析式.
解  因为,,所以 ,即.
由,得. 
又
,
从而有,即. 
又,故是关于x的一元二次方程
                     ①
的两个不相等的正整数根,从而,解得。
又为正整数,故或. 
当时,方程①为,没有整数解.
当时,方程①为,两根为.
综合知:. 
设图象经过三点的二次函数的解析式为,将点的坐标代入得 ,解得.
所以,图象经过三点的二次函数的解析式为.                                                              
第二试 (C)
一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同. 
二.(本题满分25分)
如图,已知为锐角△内一点,过分别作的垂线,垂足分别为,为的平分线,的延长线交于点.如果,求证:是的平分线.
证明  如图1,作于点,于点,于点,于点.
设,∵ , ∴. 
若,如图2,作,分别交于点,则△∽△,∴,∴ ,
∴ .
若,则.
若,同理可证. 
∵,∴ ,∴.
∵ ,∴,∴. 
又,∴ .
又因为是的平分线,所以,∴ .
显然,即,∴ ,∴是的平分线.                           
三.(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第三题相同.

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