2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1. 设，则                                          （  A  ）
A.24.      B. 25.       C. .        D. .
2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝          （  C  ）
A..      B. .       C. .        D. .
3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为                （  C  ）
A.1.      B. 2.       C. 3.        D. 4.
4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为                                                           （  B  ）
A..      B. .       C. .        D. .
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE＝                                       （  D  ）
A..      B. .       C. .        D. .
6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是               （  B  ）
A.3.      B. 4.       C. 5.        D. 6.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________.
2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为______.
3．如果实数满足条件，，则______.
4．已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有___7__对.
第二试 （A）
一．（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.
（1）证明：⊙P与轴的另一个交点为定点.
（2）如果AB恰好为⊙P的直径且，求和的值.
解  （1）易求得点的坐标为，设，，则，.
设⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则.
因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1).   
（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，
即. 
又，所以
，解得.  
二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求.
解  作E⊥AB于E，F⊥AB于F.
在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，.
又CD⊥AB，由射影定理可得，故，
. 
因为E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以＝.
连接D、D，则D、D分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠DC＝∠DA＝∠DC＝∠DB＝45°，故∠D＝90°，所以D⊥D，. 
同理，可求得，. 所以＝. 
三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：
                                          ①
                       ②
证明：以为三边长可构成一个直角三角形.
证法1  将①②两式相乘，得，
即， 
即，
即，  
即，
即，
即，即，
即，  
所以或或，即或或.
因此，以为三边长可构成一个直角三角形. 
证法2  结合①式，由②式可得，
变形，得              ③   
又由①式得，即，
代入③式，得，即.     
， 
所以或或.
结合①式可得或或.
因此，以为三边长可构成一个直角三角形.    
第二试 （B）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.
二． （本题满分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB. 
解  因为BN是∠ABC的平分线，所以.
又因为CH⊥AB，所以
，
因此.  
又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以，因此C、F、H、B四点共圆.                                        
又，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上. 
同理可证，点E在CH的中垂线上.
因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.  
三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同. 	
第二试 （C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 
二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同. 
三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：
                                          ①
                       ②
是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.
解法1  将①②两式相乘，得，
即， 
即，
即， 
即，
即，
即，即，
即， 
所以或或，即或或.
因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.
解法2  结合①式，由②式可得，
变形，得              ③ 
又由①式得，即，
代入③式，得，即.   
， 
所以或或.
结合①式可得或或.
因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.

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