2001年全国初中数学联赛 一、选择题(每小题7分,共42分) 1、a,b,c为有理数,且等式成立,则2a+999b+1001c的值是( ) 1999(B)2000(C)2001(D)不能确定 2、若,且有5a2+2001a+9=0及,则的值是( ) (A)(B)(C)(D) 3、已知在△ABC中,∠ACB=900,∠ABC=150,BC=1,则AC的长为( ) (A)(B)(C)(D) 4、如图,在△ABC中,D是边AC上的一点,下面四种情况中,△ABD∽△ACB不一定成立的情况是( ) (A) (B) (C)∠ABD=∠ACB (D) 5、①在实数范围内,一元二次方程的根为;②在△ABC中,若,则△ABC是锐角三角形;③在△ABC和中,a,b,c分别为△ABC的三边,分别为的三边,若,则△ABC的面积S大于的面积。以上三个命题中,假命题的个数是( ) (A)0(B)1(C)2(D)3 6、某商场对顾客实行优惠,规定:①如一次购物不超过200元,则不予折扣;②如一次购物超过200元但不超过500元的,按标价给予九折优惠;③如一次购物超过500元的,其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物,分别付款168元和423元;如果他只去一次购物同样的商品,则应付款是( ) (A)522.8元(B)510.4元(C)560.4元(D)472.8 二、填空题(每小题7分,共28分) 1、已知点P在直角坐标系中的坐标为(0,1),O为坐标原点,∠QPO=1500,且P到Q的距离为2,则Q的坐标为 。 2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P,则点P到两圆外公切线的距离为 。 3、已知是正整数,并且,则= 。 4、一个正整数,若分别加上100和168,则可得到两个完全平方数,这个正整数为 。 解答题(共70分) 1、在直角坐标系中有三点A(0,1),B(1,3),C(2,6);已知直线上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F。试求的值使得AD2+BE2+CF2达到最大值。(20分) 证明:若取任意整数时,二次函数总取整数值,那么都是整数; (2)写出上述命题的逆命题,并判断真假,且证明你的结论。(25分) 3、如图,D,E是△ABC边BC上的两点,F是BC延长线上的一点,∠DAE=∠CAF。(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系,并证明你的结论;(2)若△ABD的外接圆的半径的2倍,BC=6,AB=4,求BE的长。 解答题: 如图,EFGH是正方形ABCD的内接四边形,两条对角线EG和FH所夹的锐 角为θ,且∠BEG与∠CFH都是锐角。已知EG=k,FH=,四边形EFGH的面积为S。 (1)求证:sinθ=; (2)试用来表示正方形的面积。 求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程,, 的所有的根都是正整数。 3、在锐角△ABC中,AD⊥BC,D为垂足,DE⊥AC,E为垂足,DF⊥AB,F为垂足。O为△ABC的外心。 求证:(1)△AEF∽△ABC; (2)AO⊥EF 4、如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,直线平行于BD,且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。 求证:PMPN=PRPS 中国数学教育网 http://max.book118.com info@mathedu.cn 第 1 页 http://max.book118.com http://max.book118.com 3 页
全国初中数学竞赛试题及答案(2001年).doc
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