2010年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1. 若均为整数且满足，则        （  B  ）
A．          B．C．D．满足等式，，则可能取的最大值为     （  C ）
A．          B．C．D．是两个正数，且  则                                  （  C  ）
A．    B．C．D．的两根也是方程的根，则的值为 （  A  ）
A．          B．C．D．中，已知，D，E分别是边AB，AC上的点，且，，,则                                                        (  B  )
A．          B．C．D．，将其各位数字之和记为，如，，则                                                       （  D  ）
A．          B．C．D．满足方程组则    13    .
2．二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C．已知，，则        ．
3．在等腰直角△ABC中AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝，PC＝5，则PB＝______．
4．将红、黑两种颜色的球摆两种球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球按摆放（）为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.
解  由已知等式可得
                                            ①
令，则，其中均为自然数.
于是，等式①变为，即
                                                         ②
由于均为自然数，判断易知，使得等式②成立的只有两组：和 
（1）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. 
（2）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11. 
二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线. 
证明  过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N.
因为CP为∠ACB的平分线，所以∠ACP＝∠BCP.
又因为PA、PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC.
又CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.
由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC.
又因为MD//AC，所以MD和MQ为同一条直线.
又点Q、D均在⊙I上，所以点Q和点D重合，故PD是⊙I的切线. 
三．（本题满分25分）已知二次函数的图象经过两点P，Q.
（1）如果都是整数，且，求的值.
（2）设二次函数的图象与轴的交点为A、B，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整数，求△ABC的面积.
解  点P、Q在二次函数的图象上，故，，
解得，. 
（1）由知解得.
又为整数，所以，，.
(2) 设是方程的两个整数根，且.
由根与系数的关系可得，，消去，得，
两边同时乘以9，得，分解因式，得.
所以或或或
解得或或或
又是整数，所以后面三组解舍去，故.
因此，，，二次函数的解析式为.
易求得点A、B的坐标为（1,0）和（2,0），点C的坐标为（0,2），所以△ABC的面积为.
第二试 （B）
一．（本题满分20分）设整数为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.
解  不妨设，由已知等式可得
                                            ①
令，则，其中均为自然数.
于是，等式①变为，即
                                                         ②
由于均为自然数，判断易知，使得等式②成立的只有两组：和 
（1）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. 
（2）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11. 
二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同. 	
三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同. 	
第二试 （C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同. 
二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同. 
三．（本题满分25分）设是大于2的质数，k为正整数．若函数的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值．
解  由题意知，方程的两根中至少有一个为整数．
由根与系数的关系可得，从而有
                   ①
（1）若，则方程为，它有两个整数根和． 
（2）若，则.
因为为整数，如果中至少有一个为整数，则都是整数.
又因为为质数，由①式知或．
不妨设，则可设（其中m为非零整数），则由①式可得，
故，即．
又，所以，即
                                            ②
如果m为正整数，则，，从而，与②式矛盾.
如果m为负整数，则，，从而，与②式矛盾.
因此，时，方程不可能有整数根． 
综上所述，．                                          
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