第三讲 求代数式的值 用具体的数代替代数式里的字母进行计算,求出代数式的值,是一个由一般到特殊的过程.具体求解代数式值的问题时,对于较简单的问题,代入直接计算并不困难,但对于较复杂的代数式,往往是先化简,然后再求值.下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧. 1 求下列代数式的值: =0-4a3b2-a2b-5 =-413×(- 2)2- 12×(-2)-5 =-16+2-5=-19 (2)=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)] =3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z) =(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z) =2xyz-2x2z =2(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3) =12+6=18 (1)的化简是添括号,将同类项合并后,再代入求值;(2)是先去括号,然后再添括号,合并化简后,再代入求值.去、添括号时,一定要注意各项符号的变化. 2 已知a-b=-1,求a3+3ab-b3的值. a-b=-1,我们无法求出a,b的确定值,因此本题不能像例1那样,代入a,b的值求代数式的值.下面给出本题的五种解法. 1 由a-b=-1得a=b-1,代入所求代数式化简 a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3 =b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3 =-1 a化简求值的. 2 因为a-b=-1,所以 =(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab =-1(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab =-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2 =-(-1)2=-1 3 因为a-b=-1,所以 =a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3 =a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3 =(-1)3=-1 -1=a-b,并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b),从而凑成了(a-b)3. 4 因为a-b=-1,所以 (a-b)3=(-1)3=1, a3+3ab2-3a2b-b3=-1, a3-b3-3ab(a-b)=-1, a3-b3-3ab(-1)=-1, a3-b3+3ab=-1. a-b=-1,演绎推理出所求代数式的值. 5 a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab =(a-b)3+3ab(a-b)+3ab =(-1)3+3ab(-1)+3ab =-1 (a-b)3,然后化简求值.通过这个例题可以看出,求代数式的值的方法是很灵活的,需要认真思考,才能找到简便的算法.在本例的各种解法中,用到了几个常用的乘法公式,现总结如下: (a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2; (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 ; a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). xy=2(x+y),代入所求代数式中,消去xy,然后化简.所以 a=3b,所以 c=5a=5×(3b)=15b. a,c代入所求代数式,化简得 (x-5)2,|m|都是非负数,所以由(1)有 (2)得y+1=3,所以y=2. 下面先化简所求代数式,然后再代入求值. =x2y+5m2x+10xy2 =522+0+10×5×22=250 6 如果4a-3b=7,并且3a+2b=19,求14a-2b的值. a,b的值,再分别代入14a-2b求值.下面介绍一种不必求出a,b的值的解法. 14a-2b=2(7a-b) =2[(4a+3a)+(-3b+2b)] =2[(4a-3b)+(3a+2b)] =2(7+19)=52 x|+|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的值. 0,1,2, 据绝对值的意义去掉绝对值的符号,将有3个x和3个-x,这样将抵消掉x,使求值变得容易. =x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5) =-1-2+3+4+5=9 x的值在2与3之间,那么这个代数式的值就是9,即它与x具体的取值无关. 8 若x:y:z=3:4:7,且2x-y+z=18,那么x+2y-z的值是多少? x:y:z=3:4:7可以写成 的形式,对于等比,我们通常可以设它们的比值为常数k,这样可以给问题的解决带来便利. x=3ky=4k,z=7k. 因为 2x-y+z=18, 所以 2×3k-4k+7k=18, k=2,所以x=6,y=8,z=14,所以 x+2y-z=6+16-14=8. 9 已知x=y=11,求 (xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值. x+y=m,xy=n. =(n-1)2+(m-2)(m-2n) =(n-1)2+m2-2m-2mn+4n =n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2 =(n+1)2-2m(n+1)+m2 =(n+1-m)2 =(1111+1-22)2 =(121+1-22)2 =1002=10000 练习三 1 (1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4a=-2,b=1; 的值. 3a=3.5,b=-0.8,求代数式 |6-5b|-|3a-2b|-|8b-1| 的值. 4(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0,求 a,b的值. 5
全国初中数学竞赛辅导(初1)第03讲 求代数式的值.doc
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