第四讲 一元一次方程 方程是中学数学中最重要的内容.最简单的方程是一元一次方程,它是进一步学习代数方程的基础,很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决.本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧. 用等号连结两个代数式的式子叫等式.如果给等式中的文字代以任何数值,等式都成立,这种等式叫恒等式.一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的. (未知数)代以某些值,等式成立,而代以其他的值,则等式不成立,这种等式叫作条件等式.条件等式也称为方程.使方程成立的未知数的值叫作方程的解.方程的解的集合,叫作方程的解集.解方程就是求出方程的解集. (又称为一元),且其次数是1的方程叫作一元一次方程.任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式,这是一元一次方程的标准形式(最简形式). (1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项,化为最简形式ax=b;(5)方程两边同除以未知数的系数,得出方程的解. ax=b的解由a,b的取值来确定: (2)a=0,且b=0,方程变为0·x=0,则方程有无数多个解; (3)a=0,且b≠0,方程变为0·x=b,则方程无解. 1 解方程 1 从里到外逐级去括号.去小括号得 去中括号得 去大括号得 2 按照分配律由外及里去括号.去大括号得 化简为 去中括号得 去小括号得 2 已知下面两个方程 3(x+2)=5x,① 4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ② a的值. x的值,代入方程②,求出a的值. 3x-5x=-6,所以x=3.由已知,x=3也是方程②的解,根据方程解的定义,把x=3代入方程②时,应有 4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3), 7(a-3)-3(a-3)=18-12, 3 已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2,求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解. 2(x+1)=3(x-1)解得x=5.由题设知a+2=5,所以a=3.于是有 2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3,-2x=-21, 4 解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0. x,m,n是可以取不同实数值的常数,因此需要讨论m,n取不同值时,方程解的情况. m2x+mnx-mn-n2=0, 整理得 m(m+n)x=n(m+n). m+n≠0,且m=0时,方程无解; m+n=0时,方程的解为一切实数. 5 解方程 (a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2. x2项,但整理化简后,可以消去x2,也就是说,原方程实际上仍是一个一元一次方程. (a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2, (a2-b2)x=(a-b)2. (1)a2-b2≠0时,即a≠±b时,方程有唯一解 (2)a2-b2=0时,即a=b或a=-b时,若a-b≠0,即a≠b,即a=-b时,方程无解;若a-b=0,即a=b,方程有无数多个解. 6 已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值. (m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,所以 m2-1=0,即m=±1. (1)m=1时,方程变为-2x+8=0,因此x=4,代数式的值为 199(1+4)(4-2×1)+1=1991; (2)m=-1时,原方程无解. 1991. 7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解,试求a的值. 2ax-a=3x-2, (2a-3)x=a-2. 由已知该方程无解,所以 8 k为何正数时,方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数? (1)b=0时,方程的解是零;反之,若方程ax=b的解是零,则b=0成立. (2)ab>0时,则方程的解是正数;反之,若方程ax=b的解是正数,则ab>0成立. (3)ab<0时,则方程的解是负数;反之,若方程ax=b的解是负数,则ab<0成立. x整理方程得 (k2-2k)x=k2-5k. 要使方程的解为正数,需要 (k2-2k)(k2-5k)>0. 看不等式的左端 (k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5). k2≥0,所以只要k>5或k<2时上式大于零,所以当k<2或k>5时,原方程的解是正数,所以k>5或0<k<2即为所求. 9 若abc=1,解方程 abc=1,所以原方程可变形为 化简整理为 化简整理为 10 若a,b,c是正数,解方程 1 原方程两边乘以abc,得到方程 ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)] +ac[x-(a+b+c)]=0, 因此有 [x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0. a>0,b>0,c>0,所以ab+bc+ac≠0,所以 x-(a+b+c)=0, x=a+b+c为原方程的解. 2 将原方程右边的3移到左边变为-3,再拆为三个“-1”,并注意到 其余两项做类似处理. m=a+b+c,则原方程变形为 所以 即 x-(a+b+c)=0. 所以x=a+b+c为原方程的解. 11 设n为自然数,[x]表示不超过x的最大整数,解方程: [ ],由于n是自然数,所以n与(n+1) n[x]都是整数,所以x必是整数. x必为整数,即x=[x],所以原方程化为 故有 所以x=n(n+1)为原方程的解. 12 已知关于x的方程 a为某些自然数时,方程的解为自然数,试求自然数a的最小值. a最小,所以x应取x=160.所以 a的最小值为2. 1* 2x的方程: (1)a2(x-2)-3a=x+1 4k取何值时,关于x的方程3(x+1)=5-kx,分别有:(1)正数解;(2)负数解;(3)不大于1的解.
全国初中数学竞赛辅导(初1)第04讲 一元一次方程.doc
下载此电子书资料需要扣除0点,