第八讲 不等式的应用 不等式与各个数学分支都有密切的联系,利用“大于”、“小于”关系,以及不等式一系列的基本性质能够解决许多有趣的问题,本讲主要结合例题介绍一下这方面的应用. 1 已知x<0,-1<y<0,将x,xy,xy2按由小到大的顺序排列. a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b. x-xy=x(1-y),并且x<0,-1<y<0,所以x(1-y)<0,则x<xy. xy2-xy=xy(y-1)<0,所以xy2<xy. x-xy2=x(1+y)(1-y)<0,所以x<xy2. x<xy2<xy. 2 若 A,B的大小. 2x>y,y>0,所以2x-y>0,所以A-B>0,A>B. 3 若正数a,b,c满足不等式组 a,b,c的大小关系. +c得 +a得 +b得 由④,⑤得 c<a. b<C. a,b,c的大小关系为b<c<a. 4 当k取何值时,关于x的方程 3(x+1)=5-kx (1)正数解;(2)负数解;(3)不大于1的解. (3+k)x=2. (1) 3+k>0,即 k>-3时,方程有正数解. (2)3+k<0,即k<-3时,方程有负数解. (3)1时,有 1+k,3+k应同号,即 k≥-1或k<-3. 1+k可以等于零,而分母是不能等于零的。 5已知 x-1|-|x+3|的最大值和最小值. x-1|-|x+3| 4.结合x<-3时的情形,得到:在已 6 已知x,y,z为非负实数,且满足 x+y+z=30,3x+y-z=50. u=5x+4y+2z的最大值和最小值. +②得 4x+2y=80,y=40-2x. y=40-2x代入①可解得 z=x-10. y,z均为非负实数,所以 10≤x≤20. 于是 u=5x+4y+2z=5x+4(40-2x)+2(x-10) =-x+140. x值增大时,u的值减小;当x值减小时,u的值增大.故当x=10时,u有最大值130;当x=20时,u有最小值120. 7 设a,b,c,d均为整数,且关于x的四个方程 (a-2b)x=1,(b-3c)x=1, (c-4d)x=1,x+100=d 的根都是正数,试求a可能取得的最小值是多少? (a-2b)x=1,且根x>0,所以a-2b>0,又因为a,b均为整数,所以a-2b也为整数,所以 a-2b≥1,即a≥2b+1. b≥3c+1,c≥4d+1,d≥101.所以 a≥2b+1≥2(3c+1)+1=6c+3 ≥6(4d+1)+3=24d+9 ≥24×101+9=2433, 故a可能取得的最小值为2433. pq的值. 21q<30p<22q. p,q都为自然数,所以当q分别等于1,2,3,4,5,6时,无适当的p值使21q<30p<22q成立.当q=7时,147<30p<154,取p=5可使该不等式成立.所以q最小为7,此时p=5.于是 pq=5×7=35. 9 已知:b<c,1<a<b+c<a+1,求证: b<a. b<c,所以2b<b+c,所以由b+c<a+1得2b<a+1,所以由1<a得1+a<2a,所以 2b<1+a<2a, b<a成立. x≥1,y≥2,z≥3,所以 x≥3时, x只能为2. x=2时, y=3,则z=6. x=2,y≥4时, 不成立. x=2,y=3,z=6. 11 某地区举办初中数学联赛,有A,B,C,D四所中学参加,选手中, A, B两校共16名;B,C两校共 20名; C, D两校共34名,并且各校选手人数的多少是按A,B,C,D中学的顺序选派的,试求各中学的选手人数. A,B,C,D四校的选手人数分别为x,y,z,u.据题意有 x+y<y+z,所以x<z.又由于人数的多少是按A,B,C,D四校的顺序选派的,所以有x<y<z<u. x<y得16-y=x<y,所以y>8.由②与y<z得20-y=z>y,所以y<10.于是8<y<10,所以y=9(因为人数是整数).将y=9代入①,②可知x=7,z=11,再由③有u=23. A校7人,B校9人,C校11人,D校23人. 注意到x只能取1,2,3,4,…,9这九个数字,所以x=2,所以 所以y=1,z=4. 所以x=2,y=1,z=4. 练习八 1a<b<c,并且x<y<z,那么在四个代数式 (1) ax+by+cz(2)ax+bz+cy; (3) ay+bx+cz(4) az+bx+cy 中哪一个的值最大? 210(x+4)+x<62的正整数解是方程 2(a+x)-3x=a+1 3y=|x+2|+|x-1|-|3x-6|,求y的最大值. 4x,y,z都为自然数,且x<y,当x+y=1998,z-x=2000时,求x+y+z的最大值. 5x+y+z>0,xy+yz+zx>0,xyz>0,试证:x>0,y>0,z>0.
全国初中数学竞赛辅导(初1)第08讲 不等式的应用.doc
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