第七讲 含绝对值的方程及不等式
　　从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的．由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点．本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法．
　　a的绝对值记作｜a｜，指的是由a所唯一确定的非负实数：
　　含绝对值的不等式的性质：
　　(2)a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜；
　　(3)a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜．
　　由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．
　　1 解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7．
掉绝对值符号再求解．
　　(1)当x≥2时，原方程化为
(x-2)+(2x+1)=7，
-(x-2)+(2x+1)=7．
-(x-2)-(2x+1)=7
　　x的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解，应舍去．
　　2 求方程｜x-｜2x+1｜｜=3的不同的解的个数．
｜x-(2x+1)｜=3，
　　 　　　　　　　　　　　　　　　　｜1+x=3，
　　 　　　　　　　　　　　　　　　x=2x=-4．
x+(2x+1)｜=3，
即　　　　　　　　　　　　　　 ｜3x+1=3，
　　的个数为2． 
　　3 若关于x的方程｜｜x-2｜-1｜=a有三个整数解．则a的值是多少？
　　a＜0，原方程无解，所以a≥0．由绝对值的定义可知
｜x-2｜-1=±a，
　　 ｜x-2=1±a．
　　(1)a＞1，则｜x-2｜=1-a＜0，无解．｜x-2｜=1＋a，x只能有两个解x=3+a和x=1-a．
　　(2)0≤a≤1，则由｜x-2｜=1+a，求得
x=1-a或x=3+a；
　　x-2｜=1-a，求得
x=1+a或x=3-a．
　　x=3+a，3-a，1+a，1-a，为使方程有三个整数解，a必为整数，所以a只能取0或1．当a=0时，原方程的解为x=3，1，只有两个解，与题设不符，所以a≠0．当a=1时，原方程的解为x=4，0，2，有三个解．
　　a=1．
　　4 已知方程｜x｜=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围．
　　x为方程的负根，则-x=ax+1，即
所以应有a＞-1．反之，a＞-1时，原方程有负根．
　　x，则x=ax＋1，即
所以a＜1．反之，a＜1时，原方程有正根．
　　a≥1．
　　5 设
　　x+y．
　　两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零．
把③代入①得
解之得y=-3，所以x=4．故有
x+y=4-3=1．
　　6 解方程组
　　x-y=1或x-y=-1，即
x=y+1或x=y-1．
　　与②结合有下面两个方程组
　　(Ⅰ)：把x=y+1代入｜x｜+2｜y｜=3得
｜y+1｜+2｜y｜=3．
组(Ⅰ)的解为
　　(Ⅱ)有
　　故原方程组的解为
　　7 解方程组
x+y=｜x-y｜+2．
因为｜x-y｜≥0，所以x+y＞0，所以｜x+y｜=x+y． ③
　　把③代入②有
x+y=x+2，
所以y=2．将之代入①有｜x-2｜=x，所以
x-2=x， ④
　　  x-2=-x． ⑤
　　 x=1．故
为原方程组的解．
　　x+y≥0和x+y＜0两种情形，把方程②分成两个不同的方程x+y=x+2和-(x+y)=x+2，对方程①也做类似处理的话，将很麻烦．上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质，从方程①中发现必有x+y＞0，因而可以立刻消去方程②中的绝对值符号，从而简化了解题过程．
　　8 解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1．
　　 x≤5，x＞5．
-(x-5)-[-(2x+3)]1，
-(x-5)-(2x+3)＜1，
　　(3)x＞5时，原不等式化为
x-5-(2x+3)＜1，
　　x＞-9，结合x＞5，故x＞5是原不等式的解．
　　9 解不等式1≤｜3x-5｜≤2．
　　3x-5｜≥1：
　　3x-5｜≤2：
　　所以①与②的公共解应为
　　 10 解不等式｜｜x+3｜-｜x-3｜｜＞3．
　　x≤-3，-3＜x≤3，x＞3三段来讨论，于是原不等式化为如下三个不等式组．
　　 x≤-3．
　　 　　　　　　　　　　　　　　x3．
　　分别解出①和②即可，请同学们自己完成这个解法．
　　11 当a取哪些值时，方程｜x+2｜+｜x-1｜=a有解？
　　1 (1)当x≤-2时，
｜x+2｜+｜x-1｜=-2x-1≥-2(-2)-1=3．
　　(2)-2＜x＜1时，
｜x+2｜+｜x-1｜=x+2-x+1=3．
　　(3)x≥1时，
｜x+2｜+｜x-1｜=2x+1≥2·1+1=3．
　　a≥3时，原方程有解．
　　2 按照绝对值的性质｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜，故
｜x+2｜+｜x-1｜≥｜(x+2)-(x-1)｜=3．
　　-2≤x≤1时成立，所以当a≥3时，原方程有解．
练习七
　　1
　　(1)x+3｜-｜x-1｜=x+1；
　　(2)1+x｜-1｜=3x；
　　(3)3x-2｜-｜x+1｜=x+2；
　　(4)3y-2｜=-｜5x-3｜．
　　2
　　3
　　(2)55x-3｜≤10；
　　(3)x+1｜+｜4-x｜＜6；
　　(4)x-1｜-｜x+2｜｜＞1．
　　4a＞0，b＜0，则方程｜x-a｜+｜x-b｜=a-b的解是什么？

全国初中数学竞赛辅导（初1）第07讲 含绝对值的方程及不等式.doc