2007年全国初中数学联合竞赛
试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6小题，每题均给出了代号为的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.
1. 已知满足，则的值为                      （    ）
（A）1.         （B）.         （C）.         （D）.
【答】B.
解  由得，所以，故选（B）.
注：本题也可用特殊值法来判断.
2．当分别取值，，，…，，，，…，，，时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于                        （     ）
（A）－1.       （B）1.        （C）0.       （D）2007.
【答】C.
解  因为，即当分别取值，为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当时，.因此，当分别取值，，，…，，，，…，，，时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C）.
3. 设是△的三边长，二次函数在时取最小值，则△是                                                      （    ）
（A）等腰三角形.     （B）锐角三角形.      （C）钝角三角形.     （D）直角三角形.
【答】D.
解  由题意可得即所以，，因此，所以△是直角三角形. 故选（D）.
4. 已知锐角△的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则∠的度数是（    ）
（A）30°.        （B）45°.        （C）60°.        （D）75°.
【答】C.
解  锐角△的垂心在三角形内部，如图，设△的外心为，为的中点，的延长线交⊙于点，连、，则//，//，则，所以∠＝30°，∠＝60°，所以∠＝∠＝60°.故选（C）.
5．设是△内任意一点，△、△、△的重心分别为、、的值为                                                  （    ）
（A）.         （B）.         （C）.         （D）.
【答】A.
解  分别延长、、的三边、、、、、、分别为△、△、△的重心、、、、.
易证△∽△，且相似比为，所以.
所以.故选（A）.
6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是  （    ）
（A）.          （B）.         （C）.         （D）.
【答】B.
解  设摸出的15个球中有个红球、个黑球、个白球，则都是正整数，且，.因为，所以可取值2，3，4，5.
当时，只有一种可能，即；
当时，，有2种可能，或；
当时，，有3种可能，或或；
当时，，有4种可能，或或或.
因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为.故选（B）.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1. 设，是的小数部分，是的小数部分，则____1___.
解  ∵，而，∴.
又∵，而，∴.∴，
∴.
2. 对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作（），则=
解  由根与系数的关系得，，所以
，
则， 
＝.
3. 已知直角梯形的四条边长分别为，过、两点作圆,与的延长线交于点，与的延长线交于点，则的值为____4_____.
解  延长交⊙于点，设的中点分别为点，则易知.因为，由割线定理，易证，所以.
4． 若和均为四位数，且均为完全平方数，则整数的值是___17____.
解 设，，则，两式相减得
，因为101是质数，且，所以，故.代入，整理得，解得，或（舍去）.
所以.
第二试 （A）
一、 （本题满分20分）设为正整数，且，如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求的值.
解  因为一元二次方程的两根分别为和，所以二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.
由题意，，即，即.
由题意知，，且上式对一切实数恒成立，所以
所以或 
二、（本题满分25分）如图，四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延长线于点，与交于点.证明：∠=∠.
证明  设与交于点，∵//，
∴△∽△，∴,
∴. 
又∵//，∴△∽△，∴,
∴.
∴,故 
又∠=∠，∴△PNF∽△PMC，∴∠PNF＝∠PMC，∴NF//MC 
∴∠ANF＝∠EDM.
又∵ME//BF，∴∠FAN＝∠MED.
∴∠ANF＋∠FAN＝∠EDM＋∠MED，∴∠AFN=∠DME.
三、 （本题满分25分）已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根.
解  观察易知，方程有一个整数根，将方程的左边分解因式，得
因为是正整数，所以关于的方程
                                   （1）
的判别式，它一定有两个不同的实数根.
而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式应该是一个完全平方数. 
设（其中为非负整数），则，即
.
显然与的奇偶性相同，且，而，所以
或或解得或或
而是正整数，所以只可能或
当时，方程（1）即，它的两根分别为和.此时原方程的三个根为1，和.
当时，方程（1）即，它的两根分别为和.此时原方程的三个根为1，和.
第二试 （B）
一、（本题满分20分）设为正整数，且，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数恒成立，求的值.
解  因为一元二次方程的两根分别为和，所以；
一元二次方程的两根分别为和，所以. 
所以，
         （1）
由题意知，，且（1）式对一切实数恒成立，所以
所以或
二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.
三、（本题满分25分）设是正整数，二次函数，反比例函数，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值.
解  联立方程组消去得，即
，分解因式得
           （1）
显然是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.
因为是正整数，所以关于的方程
                                        （2）
的判别式，它一定有两个不同的实数根.
而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式应该是一个完全平方数. 
设（其中为非负整数），则，即
.
显然与的奇偶性相同，且，而，所以
或或解得或或
而是正整数，所以只可能或
当时，方程（2）即，它的两根分别为和，此时两个函数的图象还有两个交点和.
当时，方程（2）即，它的两根分别为和，此时两个函数的图象还有两个交点和.
第二试 （C）
一、（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第一题相同.
二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.
三、（本题满分25分）设是正整数，如果二次函数和反比例函数的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值和对应的公共整点.
解  联立方程组消去得＝
，即，分解因式得
            （1）
如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于的一元二次方程
                                            （2）
必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式应该是一个完全平方数，
而.
所以应该是一个完全平方数，设（其中为非负整数），则，即.
显然与的奇偶性相同，且，而，所以
或或解得或或
而是正整数，所以只可能或
当时，方程（2）即，它的两根分别为2和，易求得两个函数的图象有公共整点和.
当时，方程（2）即，它的两根分别为1和，易求得两个函数的图象有公共整点和.
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