2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试
一、选择题1．设，，且，则代数式的值为      （  B  ）
 5.          7.            9.          11.
提示：是方程两个不同根，故.
2．如图，设，，为三角形的三条高，若，，，则线段的长为                （   D ）
.         4.          .         .
提示：，可得，故中由勾股定理得
3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中依次取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是                                                            （   C ）
.           .         .          .
提示：卡片一共有20种取法，其中，满足条件的有种.
4．在△中，，，和分别是这两个角的外角平分线，且点分别在直线和直线上，则                        （  B  ）
.               .
 .              和的大小关系不确定.
提示：都是等腰三角形.
5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为（  B  ）
 .           .           .           .
提示：将价格从高到低排列，相邻价格之间的比值至少是
6． 已知实数满足，则
的值为                                                      （  D  ）
 .        2008.         .        1.
提示：，同理
，故.
二、填空题1．设，则_________.-2
提示：
2．如图，正方形的边长为1，为所在直线上的两点，且，，则四边形的面积为___________.
提示：
3．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且.设满足上述要求的的最大值和最小值分别为，，则__________.
提示：满足条件.
4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是___________.1
提示：平方数为一位数的有3个，平方数为两位数的有6个，依此类推.
第二试（A）
一、已知，对于满足条件的一切实数，不等式
恒成立.当乘积取最小值时，求的值.
解：设，则
==
当时，，当时，，故.
若，则，，不恒大于等于0，故即，同理.
当时，
当，即时，
，故，即.
当，即时，
综上所述，最小值是，此时或.
二、如图，圆与圆相交于两点，为圆的切线，点在圆上，且.
（1）证明：点在圆的圆周上.
（2）设△的面积为，求圆的的半径的最小值. 
解：(1)连接，则，又，故等腰
，.由于为圆的切线，
故弦切角所夹劣弧长为所夹劣弧长的2倍，即半径所在直径通过弧的中点，即点在圆上.
（2）连接，则，故     ，又，故，即，且当为圆的直径时可以取等号，故的最小值是.
三、设为质数，为正整数，且 求，的值.
解：将原等式整理为关于的一元二次方程：
，由于为正整数，则方程判别式是完全平方数，即为完全平方数，设，则
，即，由于，故同为奇数或者同为偶数，且不同是被3整除.
当时，检验得不是完全平方数
当时，检验得不是完全平方数
当时，由上面分析可知共4种分解方式可能满足条件.
当时，不是整数，当时，不是整数，
当或时，不是质数， 
当时，是质数，此时只有满足条件，
综上所述，，.
附：一。（B、C卷）已知，对于满足条件的一切实数对，不等式恒成立.当乘积取最小值时，求的值.
三．（C卷）设为质数，为正整数，且满足
，求的值.
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