第五讲 方程组的解法 (二元以上)一次方程组的求解,主要是通过同解变形进行消元,最终转化为一元一次方程来解决.所以,解方程组的基本思想是消元,主要的消元方法有代入消元和加减消元两种,下面结合例题予以介绍. 1 解方程组 x=6+4y,代入①化简得 11y-4z=-19. ④ 由③得 2y+3z=4. ⑤ 3+⑤×4得 33y+8y=-57+16, y=-1. y=-1代入⑤,得z=2.将y=-1代入②,得x=2.所以 为原方程组的解. x时,采用了代入消元法;解④,⑤组成的方程组时,若用代入法消元,无论消y,还是消z,都会出现分数系数,计算较繁,而利用两个方程中z的系数是一正一负,且系数的绝对值较小,采用加减消元法较简单. 解方程组消元时,是使用代入消元,还是使用加减消元,要根据方程的具体特点而定,灵活地采用各种方法与技巧,使解法简捷明快. 2 解方程组 1 由①,④消x得 由⑥,⑦消元,得 解之得 y=2代入①得x=1.将z=3代入③得u=4.所以 2 由原方程组得 所以 x=5-2y=5-2(8-2z) =-11+4z=-11+4(11-2u) =33-8u=33-8(6-2x) =-15+16x, x=-15+16x,解之得x=1.将x=1代入⑧得u=4.将u=4代入⑦得z=3.将z=3代入⑥得y=2.所以 为原方程组的解. 3 ①+②+③+④得 x+y+z+u=10, ⑤ -(①+③)得 y+u=6, ⑥ 2-④得 4y-u=4, ⑦ +⑦得y=2.以下略. 2很好地利用了本题方程组的特点,解法简捷、流畅. 3 解方程组 +②得 x+u=3, ⑥ +③得 y+v=5, ⑦ +④得 z+x=7, ⑧ +⑤得 u+y=9. ⑨ +②+③+④+⑤得 x+y+z+u+v=15.⑩ -⑥-⑦得z=7,把z=7代入⑧得x=0,把x=0代入⑥得u=3,把u=3代入⑨得y=6,把y=6代入⑦得v=-1.所以 为原方程组的解. 4 解方程组 1 ①×2+②得 由③得 代入④得 为原方程组的解. 为原方程组的解. 1称为整体处理法,即从整体上进行加减消元或代入消 为换元法,也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”,从而简化方程组的求解过程. 5 已知 x,y,z的值之后,代入所求的代数式计算.但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的,因此无法求出x,y,z的确定有限解,但我们可以利用加减消元法将原方程组变形. -②消去x得 3+②消去y得 5+②×3消去z得 6 已知关于x,y的方程组 分别求出当a为何值时,方程组(1)有唯一一组解;(2)无解;(3)有无穷多组解. ax=b的形式进行讨论.但必须特别注意,消元时,若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时,这个式子的值不能等于零. 2y=(1+a)-ax, ③ 将③代入②得 (a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2). ④ (1)(a-2)(a+1)≠0,即a≠2且a≠-1时,方程④有 因而原方程组有唯一一组解. (2)(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时,即a=-1时,方程④无解,因此原方程组无解. (3)(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时,即a=2时,方程④有无穷多个解,因此原方程组有无穷多组解. 7 已知关于x,y的二元一次方程 (a-1)x+(a+2)y+5-2a=0, a每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,试求出这个公共解. 1 根据题意,可分别令a=1,a=-2代入原方程得到一个方程组 x=3,y=-1代入原方程得 (a-1)3+(a+2)·(-1)+5-2a=0. a值 都是原方程的解. a=1为的是使方程中(a-1)x=0,方程无x项,可直接求出y值;取a=-2的道理类似. 2 可将原方程变形为 a(x+y-2)-(x-2y-5)=0. a无关,故有 8 甲、乙两人解方程组 原方程的解. a,所以甲所得到的解 4×(-3)-b×(-1)=-2. ③ a5+5×4=13. ④ 解由③,④联立的方程组得 所以原方程组应为 练习五 1 2x1,x2,x3,x4,x5满足方程组 3x4+2x5的值. 33x2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式,试求 4k为何值时,方程组 有唯一一组解;无解;无穷多解? 5 的解满足x+y=0,试求m的值.
全国初中数学竞赛辅导(初1)第05讲 方程组的解法.doc
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